Applications of forcing axioms and large continuum

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Aspero-Mota 反復強制法や Neeman 反復強制法のように，Todorcevic のサイドコンディション法を組み込んだ反復強制法が開発され，既存の反復強制法では困難な無矛盾結果を導き出している。サイドコンディション法に依存する反復強制法はサイドコンディション法で強制される命題，例えば「疎集合の被覆数は連続体濃度と等しい」（有限近似のサイドコンディション法はコーエン実数を付加することより），を強制する。そこで，サイドコンディション法で何が強制され，何は強制しないことができるのかを知ることで，サイドコンディション法を組み込んだ反復強制法で強制できる命題を知ることができる。サイドコンディション法は Shelah の強プロパーという性質を満たす。例えば，強プロパー強制法はスースリン木を保存するため，強プロパー強制法に関する強制公理とスースリン木が存在することが無矛盾であることが証明され，Aspero-Mota 反復強制法を用いた強制法により，mhoという命題とスースリン木が存在することは無矛盾であることが示される。今年度はどんな数学的構造が強プロパー強制法で保存されるかを調べた。強プロパー強制法はコーエン強制法で保存される MAD族を保存すること，強プロパー強制法は疎集合でない実数の集合を保存することを示した。これにより，強プロパー強制法に関する強制公理と the almost disjoint number がアレフ1であることと the uniformity of the meager ideal がアレフ1であることは無矛盾であることが示される。