実数直線上の組合せ論と強制法理論の研究

今年度は、以下の研究を行った。1.Tees and gaps in strongly proper forcing extensions : Strong propernessは、Saharon Shelahにより導入されたforcing notionの性質である。宮元は、Suslin treeがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明している。この研究で、私は、Aronszajn tree、およびgapがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明した。しかし、destructible gapがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないかどうかはまだ未解決である。私は、Strong propernessの一般化にあたる概念N_1-strong propernessを導入し、destructible gapはN_1-strongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明した。2.P_<max> variation related to slaloms : Woodinにより導入され、Larson、Shelah-Zapletalにより発展されたP_<max>バリエーションについて研究した。ここでは、「ある順序集合のcofinalityがN_1である」ことのoptimal iteration lemmaを、特定の3種の順序集合について証明している。3.P_<max> variation of destructible gaps:これは、Miami UniversityのPaul B.Larson氏との共同研究である。Larson、およびShelah-Zapletalは、特殊な性質をもつSuslin treeのII_2-compactnessを研究している。すなわち、それらの存在に対するoptimal iteration lemmaを証明しているわけである。この研究で、我々は、Suslin treeが存在する、およびdestructible gapが存在することのsimple iteration lemmaを証明した。Shelah-Zapletalは、Suslin treeが存在することのoptimal iteration lemmaが成り立たないことを証明しているが、我々は、destructible gapが存在することのoptimal iteration lemmaが成り立たないことを、新たなP_<max>バリエーションを用いることにより証明した。

今年度は、以下の研究を行った。1.Tees and gaps in strongly proper forcing extensions : Strong propernessは、Saharon Shelahにより導入されたforcing notionの性質である。宮元は、Suslin treeがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明している。この研究で、私は、Aronszajn tree、およびgapがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明した。しかし、destructible gapがstrongly proper forcing extensionにより破壊されないかどうかはまだ未解決である。私は、Strong propernessの一般化にあたる概念N_1-strong propernessを導入し、destructible gapはN_1-strongly proper forcing extensionにより破壊されないことを証明した。2.P_<max> variation related to slaloms : Woodinにより導入され、Larson、Shelah-Zapletalにより発展されたP_<max>バリエーションについて研究した。ここでは、「ある順序集合のcofinalityがN_1である」ことのoptimal iteration lemmaを、特定の3種の順序集合について証明している。3.P_<max> variation of destructible gaps:これは、Miami UniversityのPaul B.Larson氏との共同研究である。Larson、およびShelah-Zapletalは、特殊な性質をもつSuslin treeのII_2-compactnessを研究している。すなわち、それらの存在に対するoptimal iteration lemmaを証明しているわけである。この研究で、我々は、Suslin treeが存在する、およびdestructible gapが存在することのsimple iteration lemmaを証明した。Shelah-Zapletalは、Suslin treeが存在することのoptimal iteration lemmaが成り立たないことを証明しているが、我々は、destructible gapが存在することのoptimal iteration lemmaが成り立たないことを、新たなP_<max>バリエーションを用いることにより証明した。