結び目の張る曲面の形と不変量のふるまい

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昨年度に引き続き、結び目の幾何学的な性質について研究している．ジュネーブのQ・ホングラー氏との共同研究により、絡み目のファイバー曲面を、それ上のループに沿って手術し、新たなファイバー曲面を構成する手法を調べた．　これまでに知られているストーリングス捻り、およびその一般化であるハーラー捻りを調べ、更なる拡張を行い、またそれが最良であり、それ以上の拡張は得られないことを証明した．この新たなツイストにより、これまで知られていたファイバー曲面やファイバー曲面の変形操作についても新たな知見が得られ、国際集会で発表した．A'Campo によって導入された Divide の結び目について、　トロント大学の村杉氏との共同研究を行なった．とくにスラロームに次ぐ基本的なクラスを二つ定義し、そのアレクサンダー多項式の形や、零点の配置について調べた．　クラス１は意外なことに、torti-rational knot の特別なクラスになった．アレクサンダー多項式が中央の係数だけが突出する単峰形をしており、またその零点が複素平面内の単位円周の付近に綺麗に並んでいる状況を確認した．　期待と違って bi-stable になることはなかったが、それとは別に興味深い形をなすことがわかった．クラス２では、係数列の中に等差数列が部分的に現れるという不思議な現象が見出され、そのことが、多項式を変数変換したときにチェビチェフ多項式の類似を投入するという手法の開発に繋がった．