On Global Torelli type theorem of compact Kaehler manifolds with trivial first Chern class

本年度は射影代数多様体の自己同型群に含まれる無限巡回群の作用について調べた. 一般に群が多様体に作用しているとき, 固定点や周期点がどのくらいあるかというのは主要な問題であり, これまでにも様々な研究成果が知られている. そのほとんど全ては Lefschetz の固定点定理を利用したものである. この Lefschetz の不動点定理にはいくつかの版があり, 一般に良く知られているものでは固定点が孤立しており, さらに固定点の接空間に誘導される作用が固有値 1 を持たない場合にのみ適用出来るという制限があった. 一方, SGA4 で展開されている一般の版ではこのような制限はない. これを利用して射影代数多様体に無限巡回群が作用しており, さらにコホモロジーに誘導される作用が全ての次数で unipotent である場合, 周期点の集合には必ず代数曲線が含まれること, さらに周期点の定義イデアルは周期を大きくすればいくらでも小さくなる, すなわち周期点は部分スキームとしてはいくらでも大きくなることを示した. 応用として既約シンプレクティック多様体の Picard 数が 3 以上であれば, strictly nef な divisor , すなわち全ての代数曲線との交わりが正であるような divisor は ample であることが従う. この主張は Calabi-Yau 多様体と呼ばれるクラスについて予想されていたことであるが, 3 次元以上の Calabi-Yau 多様体に分類されるもので abel 多様体以外のものである程度一般的なクラスに対して示されたのは初めてである.

本年度は射影代数多様体の自己同型群に含まれる無限巡回群の作用について調べた. 一般に群が多様体に作用しているとき, 固定点や周期点がどのくらいあるかというのは主要な問題であり, これまでにも様々な研究成果が知られている. そのほとんど全ては Lefschetz の固定点定理を利用したものである. この Lefschetz の不動点定理にはいくつかの版があり, 一般に良く知られているものでは固定点が孤立しており, さらに固定点の接空間に誘導される作用が固有値 1 を持たない場合にのみ適用出来るという制限があった. 一方, SGA4 で展開されている一般の版ではこのような制限はない. これを利用して射影代数多様体に無限巡回群が作用しており, さらにコホモロジーに誘導される作用が全ての次数で unipotent である場合, 周期点の集合には必ず代数曲線が含まれること, さらに周期点の定義イデアルは周期を大きくすればいくらでも小さくなる, すなわち周期点は部分スキームとしてはいくらでも大きくなることを示した. 応用として既約シンプレクティック多様体の Picard 数が 3 以上であれば, strictly nef な divisor , すなわち全ての代数曲線との交わりが正であるような divisor は ample であることが従う. この主張は Calabi-Yau 多様体と呼ばれるクラスについて予想されていたことであるが, 3 次元以上の Calabi-Yau 多様体に分類されるもので abel 多様体以外のものである程度一般的なクラスに対して示されたのは初めてである.