Geometric analysis for unitary transition operators

今年度は，前年度に得られた，一般的な２状態変数コイン１次元量子ウォークに対する固有関数展開定理を用いて，量子ウォークの定める確率分布の弱極限先を記述することができないかを，主に考察した。昨年度得られた固有関数展開定理は，一般のCMV行列に対してはすでにGetztesyらにより得られている。しかし我々が昨年度得た公式は，１次元量子ウォークに対してのみ有効な公式であるが，その分非常にわかりやすい。実際，この公式はグリーン関数の単位円周上での境界値により与えられる，正値行列値測度を用いて，例えばスペクトル測度などの主要な情報を記述するものであるが，我々の得た公式群により，いくつかの例で，この正値行列値測度を具体的に計算することに昨年度成功している。それによれば，初期条件を１点に台を持つ関数とした場合の確率分布の弱極限が，正値行列値測度を用いて記述できるものと思われる。この予想は，数少ない極限定理を勘案して至ったものである。この問題に対して，同じく昨年度得られているQWフーリエ変換を用いて確率分布を積分表示して，弱極限を調べるという方針のもとで考察した。残念ながら成功はしていないものの，継続して考察すべき良い問題ではないかと考えている。また，調書の段階で考察対象としていた半古典解析的な極限定理についても考察した。昨年度までの時点で，この問題は実はかなり難しい問題であろうと考え直したため，本年度はあまり時間をかけて考察はしなかったのだが，非常に気になる問題であり，かつ重要な問題である。本年度考察したことは，数年前にも考察した初期条件の選び方の工夫である。現在考えている初期条件の選び方が良い選び方に違いないという傍証はあるのだが，残念ながらまだ進展していない。この問題も非常に重要な問題であるため，諦めずに考察を続けたい。

今年度は，前年度に得られた，一般的な２状態変数コイン１次元量子ウォークに対する固有関数展開定理を用いて，量子ウォークの定める確率分布の弱極限先を記述することができないかを，主に考察した。昨年度得られた固有関数展開定理は，一般のCMV行列に対してはすでにGetztesyらにより得られている。しかし我々が昨年度得た公式は，１次元量子ウォークに対してのみ有効な公式であるが，その分非常にわかりやすい。実際，この公式はグリーン関数の単位円周上での境界値により与えられる，正値行列値測度を用いて，例えばスペクトル測度などの主要な情報を記述するものであるが，我々の得た公式群により，いくつかの例で，この正値行列値測度を具体的に計算することに昨年度成功している。それによれば，初期条件を１点に台を持つ関数とした場合の確率分布の弱極限が，正値行列値測度を用いて記述できるものと思われる。この予想は，数少ない極限定理を勘案して至ったものである。この問題に対して，同じく昨年度得られているQWフーリエ変換を用いて確率分布を積分表示して，弱極限を調べるという方針のもとで考察した。残念ながら成功はしていないものの，継続して考察すべき良い問題ではないかと考えている。また，調書の段階で考察対象としていた半古典解析的な極限定理についても考察した。昨年度までの時点で，この問題は実はかなり難しい問題であろうと考え直したため，本年度はあまり時間をかけて考察はしなかったのだが，非常に気になる問題であり，かつ重要な問題である。本年度考察したことは，数年前にも考察した初期条件の選び方の工夫である。現在考えている初期条件の選び方が良い選び方に違いないという傍証はあるのだが，残念ながらまだ進展していない。この問題も非常に重要な問題であるため，諦めずに考察を続けたい。