Asymptotic behavior of solutions for differential equations with phi-Laplacian

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平成30年度は、主に phi-Laplacian を持つ常微分方程式の解の振動に関する比較定理の構築に取り組んだ。p-Laplacian の一般化である p(t)-Laplacian は、画像処理、電気粘性流体、弾性力学など、幅広い分野における数理モデルに登場することが知られている。p(t)-Laplacian は変動指数を含むため、p-Laplacian と比べて強い非線形性を持つ。実際、Duffing 型の常微分方程式の解の斉次性は、p-Laplacian の場合には保証されるのに対して、p(t)-Laplacian の場合には一般に保証されない。加えて、p-Laplacian の場合には、一般化三角関数などの有用な関数が定義され、それを用いて Sturm の比較定理が証明される一方、p(t)-Laplacian の場合には一般化三角関数の構築は困難である。報告者は、平成29年度の研究で用いた手法を発展させ、一般化三角関数や Sturm の比較定理を用いることなく、p(t)-Laplacian を持つ常微分方程式の振動問題に対する、指数 p(t) に関する比較定理を証明した。これにより、関数 p(t) が無限遠方で大きいほど、p(t)-Laplacian を持つ Duffing 型の常微分方程式の解は振動しやすいことを示した。この結果は、p(t) が定数の場合に既に知られている結果を包含するものである。また、この結果を利用して、p(t)-Laplacian を持つ常微分方程式の解の振動性を、p-Laplacian を持つ方程式の解の振動性を用いて評価することができる。加えて、仮定した条件の妥当性を保証するため、条件が成り立たない場合の解の振動性についての判定法を構築した。これらの結果について、研究集会において口頭発表を行うとともに、学術論文として現在投稿中である。