カンドルと対称空間の観点からの結び目の不変量の研究

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本研究の目的は結び目の分類問題を中心とする結び目の不変量の研究に対してカンドルと対称空間という観点から取り組み、結び目の幾何的情報を代数的に特徴づけることである。この目的に基づき、2022年度は大きく分けて3つの研究を行った。(1)アレキサンダー組を用いた結び目の不変量の研究を行った。アレキサンダー組とはカンドルの直積から環へのある条件を満たす写像の組のことであり、石井敦先生(筑波大学)と大城佳奈子先生(上智大学)によってアレキサンダー組を用いた結び目の不変量が構成されている。今年度は「カンドル2-コサイクルに付随したアレキサンダー組」を用いた曲面結び目の不変量が別の不変量で解釈出来ることを示した。応用として、2次元結び目も結び目カンドルのカンドルホモロジー群が自明であることを証明した。(2)カンドルの良い対合写像に関する研究を行った。良い対合写像を用いることで、向きのついていない結び目の不変量を構成することができる。今年度は一般化されたアレキサンダーカンドルと呼ばれるカンドルの良い対合写像に関する研究を行い、良い対合写像が存在するための必要十分条件を決定することができた。また連結な場合には良い対合写像の分類も与えることができた。(3)２次元結び目の結び目カンドルに関する研究を田中心氏(東京学芸大学)と共同で行った。１次元結び目に比べて２次元結び目の結び目カンドルは知られていることもそう多くなかった。今回はツイストスパン結び目と呼ばれる2次元結び目のクラスに着目し、それらの結び目カンドルの性質について詳しく調べた。今年度は1本の論文が受理され, 3本が投稿中である。また国内の３つの研究集会とセミナーにおいて本研究に関連する招待講演を行った。