Geometrical and arithmetic study of invariants appearing exponential sums of representations

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金村佳範氏（慶應義塾大学）と共同で、二元四次形式から定まる曲線族の数論統計的な振る舞いを調べる研究を進めた。これはすでに知られていた二元四次形式から定まる曲線族のうちの大域点や局所点を持つ割合についての結果を、更に制限した部分族について調べるものである。いくつか結果が得られているが、既存の結果で調べられている族とは異なるふるまいが見える興味深い結果となっている。大まかには証明に用いるセルマー群や弱モーデル＝ヴェイユ群などの漸近的な振る舞いの違いに起因するものであり、セルマー群のなかのある部分群に対応する曲線族を用いると、より自然な数え上げができることも見出している。すでに金村氏が九州整数論集会にて公表しており、現在論文執筆中である。昨年度に引き続いて、二元五次形式の指数和の計算について研究を実施した。幾何的な分解のあとに得られる部分和についての計算で、ハンケル行列や四次代数のパラメータ付けを利用する方法で、数え上げの対象を五次代数に関連するより計算に適したデータに帰着し、部分的な結果を得た。また二元形式の指数和の幾何分解に用いられた組み合わせ構造を定式化する研究について情報を得たため、それを用いての昨年度の結果の定式化や、関連する組み合わせ構造について調査した。今後も研究を継続する。また、伊藤哲史氏（京都大学），吉川祥氏（学習院大学）とのモジュラー曲線に関する共同研究、および伊藤哲史氏との平面三次曲線の変曲点の局所大域原理について、得られていた結果を出版している。