代数群の線形表現の軌道と数論幾何

ある超曲面の定義方程式を、線形形式成分の対称行列式の行列式として表すことができるとき、その対称行列を超曲面の対称行列式表示という。これは「複数の対称行列の組」全体をある代数群の自然な線形表現とみて、その軌道を考えることに対応する。この線形表現の軌道について、次のような下部構造を保つ全単射を得ることができた: 二次元以上の射影空間における被約な超曲面を固定した時、「超曲面の対称行列式表示の同値類」の集合と「超曲面上の非効果的シータ・キャラクタリスティックと呼ばれる層に付加構造を添加したものの同値類」の集合との間に自然な全単射が存在する。この全単射は標数二でない代数閉体上の平面曲線では古典的に知られていた結果であり、今回の結果は体によらず、とりわけ標数2でも機能することが特徴である。また被約でない超曲面にも一般化される。この応用として、伊藤哲史氏との共同研究において、いくつかの数論的な応用を示すことができた。まず有理数体上において、素数次数のフェルマー曲線、クラインの四次曲線について対称行列式表示の同値類を決定した。次に「ある大域体上の平面曲線において、各局所体で対称行列式表示が存在する場合に、大域体でも対称行列式表示があるか」という対称行列式表示の局所大域原理について調べた。これについて得られた結果は以下のとおりである。まず次数三以下の平面曲線では局所大域原理が成立する。標数2でない大域体では一般に反例があること、および標数2では常に局所大域原理が成立することを示した。また「射影直線上の超曲面」に対応する場合についても対応する全単射を調べ、Bhargava-Gross-Wang の論文で用いられた主張の一般化を得ることができた。

ある超曲面の定義方程式を、線形形式成分の対称行列式の行列式として表すことができるとき、その対称行列を超曲面の対称行列式表示という。これは「複数の対称行列の組」全体をある代数群の自然な線形表現とみて、その軌道を考えることに対応する。この線形表現の軌道について、次のような下部構造を保つ全単射を得ることができた: 二次元以上の射影空間における被約な超曲面を固定した時、「超曲面の対称行列式表示の同値類」の集合と「超曲面上の非効果的シータ・キャラクタリスティックと呼ばれる層に付加構造を添加したものの同値類」の集合との間に自然な全単射が存在する。この全単射は標数二でない代数閉体上の平面曲線では古典的に知られていた結果であり、今回の結果は体によらず、とりわけ標数2でも機能することが特徴である。また被約でない超曲面にも一般化される。この応用として、伊藤哲史氏との共同研究において、いくつかの数論的な応用を示すことができた。まず有理数体上において、素数次数のフェルマー曲線、クラインの四次曲線について対称行列式表示の同値類を決定した。次に「ある大域体上の平面曲線において、各局所体で対称行列式表示が存在する場合に、大域体でも対称行列式表示があるか」という対称行列式表示の局所大域原理について調べた。これについて得られた結果は以下のとおりである。まず次数三以下の平面曲線では局所大域原理が成立する。標数2でない大域体では一般に反例があること、および標数2では常に局所大域原理が成立することを示した。また「射影直線上の超曲面」に対応する場合についても対応する全単射を調べ、Bhargava-Gross-Wang の論文で用いられた主張の一般化を得ることができた。