保型形式に付随する L 関数の特殊値と数論的不変量のp進的研究

点击翻译按钮获取中文摘要

昨年度に引き続き、CM楕円曲線に付随する数論的不変量のp進的振る舞いについて研究を行った (小林真一氏とAshay Burungale 氏との共同研究)。 素数 p が考えている虚二次体で分裂する場合の CM 楕円曲線の岩澤理論は、Panchishkin 表現という場合の岩澤理論に該当し、さまざまな先行研究がなされ、一般的な予想が部分的に定式化されるなど理解が進んでおり、数論的不変量の振る舞いの理解もある程度進んでいる。しかしながら、p が惰性する場合は全く異なる現象が起き、既存の岩澤理論の枠組みでは捉えきれないだけでなく、整数性の崩れなどの多くの困難が現れる。それにより、数論的不変量の振る舞いについても従来とは異なる面白い振る舞いをし、それを理解することは、新たな岩澤理論的現象を見出すためにも非常に重要である。今年度は、(複素)反円分L関数の特殊値のp進付値の漸近的な振る舞いを解析し論文を書き上げた。また、前年度に出版した論文の成果であるRubin予想の解決の応用として、ある種の場合の局所イプシロン同型の別構成を与えることに成功し論文を投稿した(Burungale氏、小林氏、安田正大氏との共同研究)。もう少し正確に述べると、高さ2のLubin-Tate形式群のp進Tate加群の反円分変形に対する局所イプシロン同型を構成することに成功した。この場合は階数が2の場合で、より一般的な場合を扱った先行研究においてすでに構成されているが、Rubin予想を用いたより簡明な構成を与えることができたことと、Rubin予想とこのような重要な数論的な予想と関係があることを明らかにできたことが収穫である。また、以前Mazur-Tate予想の階数部分の楕円保型形式の場合に関する部分的な成果を得られ論文を投稿していたが、リバイズを経て本年度論文が出版された。