Cancellation problems for affine algebraic varieties

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本研究ではアフィン代数多様体における消去問題に取り組んでいる。本年度はザリスキ型の消去問題やその周辺の問題について研究を行った。ザリスキ型の消去問題とは、環Aが一つ変数を付け加えることで多項式環になるとき、Aは再び多項式環になるかという問題で、3次元以上で基礎体の標数が0の場合は未解決である。「多項式環のレトラクトは多項式環に限るか？」という問題はザリスキ型の消去問題を含む問題である。この問題は、多項式環の変数や基礎体の標数により解決済みの場合と未解決の場合に分かれる。未解決の場合は、(1) 多項式環の変数が3で基礎体の標数が正(2) 多項式環の変数が4以上で基礎体の標数が0の2つの場合である。本年度の研究ではこれらの問題を解決するため、ローラン多項式環や局所化された多項式環に対して同様の問題を考えた。得られた結果は以下の通りである。[1] ローラン多項式環の場合: 整域上のローラン多項式環のレトラクトの分類を与えた。分類の結果、ローラン多項式環のレトラクトはローラン多項式環に限ることを示した。したがって、上記 (1) および (2) の場合は肯定的に解決することがわかった。[2] 局所化された多項式環の場合: 変数が3以下で基礎体が完全体の場合に、単項式によって局所化された多項式環のレトラクトの分類を与えた。分類の結果、この場合も同様にレトラクトになる環は単項式の局所化により得られることがわかった。特に、上記 (1) の場合は肯定的に解決することがわかった。