多変数保型関数の数論幾何的研究とそのPicard数極大曲面への応用

多元自守函数的算术几何研究及其在皮卡德数极大曲面中的应用

• 批准号: 21K13779
• 负责人: 平川 義之輔
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13779/
• 关键词: Picard数; Fermat型曲面; Klein型曲面; イデアル格子; Picard数極大曲面; 多変数保型関数; 周期; 志村多様体; 超幾何曲線; Mordell-Weil群; イデアル類群

本年度は、主に、「Picard数の大きな」非特異n次曲面の数論幾何学的な研究を進めた。これは、当初の目標であった「Picard数極大」曲面の構成からはやや逸れるものの、複数の共同研究においてその方面の進展があり、良い意味で予想外の計画変更が生じた結果である。まず、後藤有輝氏 (慶應義塾大・理研)、関川隆太郎氏 (東京理科大)、根本裕介氏 (千葉大) との共同研究において、Fermat型超曲面とKlein型超曲面のモチーフの間に興味深い類似を観測した。こうしたモチーフの類似を確立することで、Picard数 (Hodge構造の不変量) の一致に留まらず、様々な代数幾何学的・数論幾何学的な不変量の一致を同時に導くことができるため、非常に興味深い。また、金村佳範氏 (慶應義塾大) との共同研究において、Fermat型曲面上の東屋代数の具体的構成とその有理点問題への応用を行なった。この方面の研究は、Fermat4次曲面に対しては豊富であるが、高次の場合には明示的な文献がほとんどないため、当該研究が完成した暁には当該分野に大きく貢献することが期待される。一方、虚数乗法論において重要な役割を果たす代数体のイデアル格子に関しても、新しい知見を得た。この成果は、「プロジェクト研究集会2022 (佐久平)」にて発表した。これをもとに、数論的に興味深い性質を有する多変数保型形式の新しい構成を視野に入れて、比嘉陸氏 (東京理科大) と共同研究を始めた。また、昨年度に臺信直人氏 (慶應義塾大) と松村英樹氏 (慶應義塾大) の両氏との共同研究で得られた内容を論文としてまとめ、プレプリントサーバーに公開した。現在でも本共同研究は継続中であり、当該論文の成果をさらに拡張した論文を準備中である。そのほかにも複数の共同研究が順調に進展した。

This year, the study of "Picard number" in the geometry of non-specific n-degree surfaces has been advanced. The construction of Picard number maximum surface has been studied in detail. A joint research project by Yuki Motoki, Ariki Goto (Keio University, Riken), Takataro Sekikawa (Tokyo University of Science) and Yusuke Motoki (Chiba University) was carried out to investigate the relationship between Fermat hypersurfaces and Klein hypersurfaces. The similarity of Picard numbers is established, and the consistency of Picard numbers (Hodge structure variables) is maintained, and the consistency of algebraic geometry and number geometry variables is simultaneously derived. A joint study of the concrete composition of Higashiya algebras on Fermat type surfaces and the application of rational points. The research on this aspect is expected to be completed when the Fermat4-degree surface is completed. The theory of square and imaginary numbers is important to the understanding of algebra. The results of this research were presented in the "Research Conference 2022"(Sakura). A new type of mathematical theory has been developed. A new type of mathematical theory has been developed. The contents of the joint research conducted by Naoto Taishin (Keio University) and Hideki Matsumura (Keio University) were published in the public. Now we are working together to prepare the paper. A number of joint studies have been conducted in order to improve progress.

项目成果

A note on trace forms of type A_n, D_n, E_n for odd n

关于奇数 n 的 A_n、D_n、E_n 类型的迹线形式的注释

• 发表时间: 2023
• 作者: Itaba Ayako;Mori Izuru;板場綾子;Ayako Itaba;板場綾子;板場綾子;平川義之輔
• 通讯作者: 平川義之輔