Ｃａｌａｂｉ－Ｙａｕ多様体の保型性予想とその精密化に関する研究

平成29年度は、今後形式群の観点から所望のCalabi-Yau多様体を探索することを念頭に置き、最も典型的な形式群である乗法群を整数論的な観点から考察した。乗法群の不変量である古典的なBernoulli数 (Riemann zeta関数の特殊値) は、Cauchy数とBell数という異なる2つの双対的な量を持つ。これらは共にBernoulli数と等価な情報を持っているという意味で、重要な研究対象である。今年度の1つ目の成果は、Euler-Zagier型の多重zeta関数の特殊値 (正確にはreverse valueと呼ばれる正規化値) を、Cauchy数を用いて明示的に書き下したことである。証明に用いるBernoulli数とCauchy数の変換公式は、それ自身が上記の双対性の現れであり、多重zeta関数に秘められた対称性を示唆するものと期待される。当該論文は既に完成しており、現在は投稿に向けた最終調整を行っている。また、第11回ゼータ若手研究集会 (愛媛) では、この成果に関して口頭発表を行った。今年度の2つ目の成果は、Bell数に関するものである。形式群の観点からは、種々のzeta関数の特殊値を多重対数級数 (の亜種) の特殊値と見なすのが妥当と思われる。そこで、双対概念である多重指数級数を調べることで、各形式群に固有の不変量を抽出することを試みた。実際、乗法群に付随する多重指数級数の負の整数点における特殊値を、Bell数を用いて明示的に書き下すことに成功した。当該論文は現在執筆中であり、完成次第投稿予定である。また、UK-Japan Winter School 2018 on Number Theory (UK) では、この成果に関してポスターセッションを行った。その他、清水洋介氏 (元慶應義塾大学) との議論から生まれたHasse原理の反例に関する論文2報も執筆した。

平成29年度は、今後形式群の観点から所望のCalabi-Yau多様体を探索することを念頭に置き、最も典型的な形式群である乗法群を整数論的な観点から考察した。乗法群の不変量である古典的なBernoulli数 (Riemann zeta関数の特殊値) は、Cauchy数とBell数という異なる2つの双対的な量を持つ。これらは共にBernoulli数と等価な情報を持っているという意味で、重要な研究対象である。今年度の1つ目の成果は、Euler-Zagier型の多重zeta関数の特殊値 (正確にはreverse valueと呼ばれる正規化値) を、Cauchy数を用いて明示的に書き下したことである。証明に用いるBernoulli数とCauchy数の変換公式は、それ自身が上記の双対性の現れであり、多重zeta関数に秘められた対称性を示唆するものと期待される。当該論文は既に完成しており、現在は投稿に向けた最終調整を行っている。また、第11回ゼータ若手研究集会 (愛媛) では、この成果に関して口頭発表を行った。今年度の2つ目の成果は、Bell数に関するものである。形式群の観点からは、種々のzeta関数の特殊値を多重対数級数 (の亜種) の特殊値と見なすのが妥当と思われる。そこで、双対概念である多重指数級数を調べることで、各形式群に固有の不変量を抽出することを試みた。実際、乗法群に付随する多重指数級数の負の整数点における特殊値を、Bell数を用いて明示的に書き下すことに成功した。当該論文は現在執筆中であり、完成次第投稿予定である。また、UK-Japan Winter School 2018 on Number Theory (UK) では、この成果に関してポスターセッションを行った。その他、清水洋介氏 (元慶應義塾大学) との議論から生まれたHasse原理の反例に関する論文2報も執筆した。