粘性流体の非粘性極限における渦力学の数学解析

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非粘性流体の運動を記述する二次元Euler方程式の正則化モデルである、二次元Filtered-Euler方程式について、その点渦解の正則化パラメータ極限における点渦の衝突とエンストロフィー散逸の関連について研究を行なった。点渦とは、渦度がディラックのデルタ関数で記述される数学的な理想渦であり, その特異性から二次元Euler方程式の点渦初期値に対する可解性はわかっていない。一方で、二次元Filtered-Euler方程式については点渦初期値に対する時間大域解の一意存在が知られており、その解軌道はFiltered-点渦系によって記述される。二次元Euler方程式に対しても、点渦の運動を記述するモデルとして点渦系が形式的に導出でき、衝突解の存在が知られている。本研究では、点渦系で有限時刻で衝突するような初期点渦配置をFiltered-点渦系の初期値として与え、正則化パラメータ極限における点渦の衝突とエンストロフィー散逸を数値的に調べた。３体問題については、点渦系の衝突解に対応するFiltered-点渦系の解が、正則化パラメータ極限で３点渦が衝突し、衝突時にエンストロフィー散逸することが数学的に証明されているが, 一般の4体以上ではこのような点渦の衝突によるエンストロフィー散逸が起きるかは証明されておらず、いくつかの特殊な例が数値的に知られているだけであった。本研究では４体、５体問題について、点渦系で解析的な表示が与えれらている衝突解を用いて、1パラメータを持った初期配置の族に対して、対応するfiltered-点渦系の解が正則化パラメータ極限でエンストロフィーを散逸し、点渦系の衝突解の軌道に収束することを数値的に示した。これにより、点渦の衝突によるエンストロフィー散逸が多体問題についても同様に起きることを示唆した。