Study on the nonlinear geometric heat flow via a geometric analysis approach

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令和4年度は, 4本の論文投稿を行い, うち2本が掲載受理された．まず一つは，近年活発に研究されている局所・非局所混合型作用素の楕円型・放物型問題について．特に，中村は局所・非局所二重非線形放物型方程式の正値解に対する弱解に対する弱Harnack評価の導出に成功した．次に，p-Laplacianを主要部に含む速い拡散・遅い拡散すべてを含む二重非線形放物型方程式に対する，あるエネルギークラスに属する弱解の存在を[Nakamura-Misawa, Nonlinear Anal. (2018)]で獲得した後退差分の方法と，弱収束の方法により証明した，この結果のハイライトは，近似階の空間一階微分のL^p強収束にある．従来，Jungerbulerらのp-調和写像の方法によれば，L^p強収束までは到達しなかったのであるが，Kinnunen-Lidqvist (Adv. Calc. Var. (2006)) による指数型mollifierを用いることにより，この障害を乗り越え，あらゆる拡散方程式に対する(Cauchy-Diriclet問題の)解の存在を担保できた．残り2つは，分数階放物型DeGiorgiクラスを新たに設定し，局所有界性，弱Harnack評価，下半連続表現ついてまとめ，現在投稿中である．また，最後の4つ目は，分数階p-Sobolev流に対する体積一定問題への変換について，まとめたもので，こちらも投稿中である．