Well-posedness of a model for the dynamics of fluids with the moving contact line

点击翻译按钮获取中文摘要

令和４年度は主として以下の２つの成果を得た．1）柴田良弘氏（早稲田大学）との共同研究を通じて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の初期値境界値に対して，最大L1正則性定理を証明した．特に，時間変数に関してルベーグ空間 L1，空間変数に関して可微分指数 -1+1/q < s < 1/q，可積分指数qの非斉次べゾフ空間 B^s_{q,1} の枠組みにおいて，自由境界条件を伴う半空間におけるストークス方程式の解が一意に存在することを示した．これまでに斉次べゾフ空間の枠組みにおいて，Danchin et al.（プレプリント）や小川・清水（2021）による最大L1正則性定理の別証明が知られていたが，本研究では従来の最大 Lp-Lq 正則性理論を拡張する形でストークス方程式に対する最大L1正則性理論の確立に成功した．将来的には表面張力を伴うナビエ・ストークス方程式の自由境界問題のように，双曲・放物型偏微分方程式系に対する最大L1正則性理論の構築が期待される．2）藤井幹大氏（九州大学）との共同研究を通じて，コリオリ力を伴う圧縮性ナビエ・ストークス方程式の長時間可解性を，スケール不変な斉次べゾフ空間において証明した．特に，回転と音波による分散性について臨界べゾフ空間における解析を行い，任意の有限時刻と臨界べゾフ空間に属する任意の初期値に対して，回転速度を十分大きくかつマッハ数を十分小さくとると，与えられた有限時刻までの解が一意的に存在することを証明した．以上の研究成果は，日本数学会秋季総合分科会や京都大学数理解析研究所の「共同研究（公開型）」にて発表した（ただし，発表者はそれぞれ柴田良弘氏と藤井幹大氏である）．また，それぞれの研究成果は共著論文として現在投稿準備中である．