Research on p-adic analytic cohomology of algebraic varieties and application to number theory

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本研究の目的の一つである「悪い還元を持つ代数多様体のp進解析的コホモロジー理論の整備」として以下の内容に取り組んだ。(1)冪単係数付きHyodo-KatoコホモロジーのPoincare双対性について、Regensburg大学のVeronika Ertl氏との共同研究を行った。まずp進整数環上のコンパクト化可能なモデルが存在する場合のPoincare双対性に関する論文の改稿作業を進めた。特に、(φ,N)加群と有限(φ,N)加群の導来圏の同値性を論文中で使っていたが、先行研究の非自明なギャップとして未解決なまま残っていることが分かったため、これを証明した。また、この研究について国際研究集会で口頭発表した。(2)代数体上の多様体に対するHyodo-Kato理論の定式化について考察を進めた。自明な係数の場合はオルタレーションを使って容易にコホモロジーを定義できるが, 係数層やコンパクト台付きコホモロジーをどのように扱うべきかは、定式化の時点で非自明である。本年度の研究では冪単な係数を持つコンパクト台付きコホモロジーの定義を与え、de Rhamコホモロジーや上記(1)で得られたコホモロジーとの比較同型を証明した。(3)冪単と限らない一般のアイソクリスタルを係数とするHyodo-Kato写像の同型性について考察を進めた。これは研究開始当初は取り組みたくてもアイデアがなかったため計画に含めていなかったものの、証明できれば志村多様体の数論などへの応用上も有用で、基本群の研究等への発展性もある。本年度の研究過程で新たに証明の着想を得たため優先して取り組み、ある種の命題が成り立つ仮定のもとで同型性を示した。また、仮定していた命題の証明についても着想を得た。