悪い還元を持つ代数多様体のｐ進コホモロジーとｐ進ポリログの研究

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本年度の主な成果は、Veronika Ertl 氏との共同研究における、サントミックコホモロジーの比較定理である。具体的には、p 進整数環上の良いコンパクト化を持つ強半安定対数スキームに対して、サントミックコホモロジーのクリスタリン構成とリジッド構成の間に標準的な比較同型が存在することを証明した。クリスタリン構成ではコホモロジー理論的に重要な性質が多く知られており、一方リジッド構成は解析的な計算に適している為、今回の結果は、本研究課題の将来的な目標であるp進L関数の特殊値への応用上、非常に有用である。この定理における「良いコンパクト化を持つ」という条件は、本研究課題への応用上は充分一般的な条件である。また、リジッドサントミックコホモロジーの関手性の証明にギャップを発見し、その再証明も行った。これは当初の研究計画には含まれていなかったが、関手性はコホモロジー理論として当然要請される性質なので、本研究課題において不可欠な内容である。一方、前年に計画していたダガー空間に対するリジッドサントミックコホモロジーの構成は、現状得られている枠組みでは困難であることが分かった。これについては、対数過収束景の理論を整備することで将来的にアプローチが可能になると期待できる。また、p進理論のプロトタイプとして坂内健一氏らとの混合プレクティック Hodge 理論の共同研究も並行して行い、本年度は古典的ポリログの Deligne-Beilinson コホモロジー類の具体的な表示を与えることに成功した。これは専門家の間ではある程度推測されていた結果だが、対数 Dolbeault コホモロジーを用いて数学的に正当化した先行研究は知られていないと思われる。当面の目標であるプレクティックポリログの計算はこの結果の一般化にあたるため、今回の結果は今後本質的に新しい成果を得る為の第一段階に相当する。