GAPN関数の暗号理論，符号理論を含む他分野への応用に関する基礎研究

有限体上の非線形性が高い関数としてPN（Perfect nonlinear）関数やAPN（Almost PN）関数が研究されており，標数2の場合には，暗号理論や符号理論への応用が知られている．近年，標数2のAPN関数の代数的な性質を保つ奇標数への一般化であるGAPN（Generalized APN）関数が定義され，国内外の研究者によりその研究が進められている．本研究では，単項GAPN関数の分類について調べている．単項PN関数や単項APN関数の場合においても完全な分類を与えることは困難であり，未解決であるが，例外的（無数の有限体上でPNやAPNといった非線形性を保つ）な場合には特徴付けが与えられ，その分類が知られている．そのため，例外的GAPN関数の特徴付けを与えることが本研究の主な目的の1つである．標数2のAPN関数については，次の事実が知られている．有限体上の単項関数が定める代数曲線が幾何学的既約成分をもつとき，その関数は例外的ではない．奇標数のGAPN関数についても同様の事実が成り立つことを確かめた．この事実を用いて，既に構成されているもの以外に例外的GAPN関数が存在するかどうかを調べている．研究を進めていく中で，標数5以上の場合と比較して，標数3の場合の特殊性が観察されている．本年度は，主に標数3の場合に，共同研究者の三井健太郎氏（神戸大学）と例外的GAPN関数の特徴付けに関する研究を行った．標数3の例外的GAPN関数について，多くの場合に分類を進めることができた．

有限体上の非線形性が高い関数としてPN（Perfect nonlinear）関数やAPN（Almost PN）関数が研究されており，標数2の場合には，暗号理論や符号理論への応用が知られている．近年，標数2のAPN関数の代数的な性質を保つ奇標数への一般化であるGAPN（Generalized APN）関数が定義され，国内外の研究者によりその研究が進められている．本研究では，単項GAPN関数の分類について調べている．単項PN関数や単項APN関数の場合においても完全な分類を与えることは困難であり，未解決であるが，例外的（無数の有限体上でPNやAPNといった非線形性を保つ）な場合には特徴付けが与えられ，その分類が知られている．そのため，例外的GAPN関数の特徴付けを与えることが本研究の主な目的の1つである．標数2のAPN関数については，次の事実が知られている．有限体上の単項関数が定める代数曲線が幾何学的既約成分をもつとき，その関数は例外的ではない．奇標数のGAPN関数についても同様の事実が成り立つことを確かめた．この事実を用いて，既に構成されているもの以外に例外的GAPN関数が存在するかどうかを調べている．研究を進めていく中で，標数5以上の場合と比較して，標数3の場合の特殊性が観察されている．本年度は，主に標数3の場合に，共同研究者の三井健太郎氏（神戸大学）と例外的GAPN関数の特徴付けに関する研究を行った．標数3の例外的GAPN関数について，多くの場合に分類を進めることができた．