The sharpness of CKN-type inequalities for vector fields

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本研究はCaffarelli-Kohn-Nirenberg(以下、CKN)型に類する関数不等式を研究対象として、主に制約条件付きベクトル場もしくは微分形式を未知関数とした場合の最良構造について研究を進めている。本年度において特に際立った進展としては、CKN型不等式の中でも物理学的に重要な不確定性原理不等式について、ソレノイダル場に対する最良定数を計算した論文がフランスの数学雑誌Journal de Mathematiques Pures et Appliqueesに掲載された。論文審査では、3次元の場合と4次元以上の場合では最良定数の達成構造が異なるところが非常に興味深いという審査員からのコメントを受けて、達成関数の具体表示について考察、追記したため、プレプリントよりもさらに充実した内容となっている。同不等式については、さらに2次モーメント部分をベクトル積の二乗積分に置き換えることで不等式を強化する試みにも取り組み、その内容を学会発表で講演した。同不等式を一般の重み指数をもつCKN不等式に拡張する問題については、問題を1次元最小化問題に帰着させるところまでは可能であることが判明しているが、それ以降の解明はかなり難航することが予想される。一方で、Hardy不等式の最良定数は達成されないことが知られているが、その補正項に対する興味がきっかけとなって、球体上のPoincare不等式の最良定数を制約条件付きベクトル場に対して求める問題にも取り組み始めた。実際にある程度まで最良定数の計算可能性が判明し、学会発表では渦無し場に対するPoincare定数の計算結果を発表した。関連する問題として、球体上Hardy不等式の補正項の最適評価を求める問題にも制約条件付きベクトル場について取り組んでいきたい。