Asymptotic analysis for partial differential equations of nonlinear waves with dissipation and dispersion

本年度は, 散逸と分散を伴う非線形波の偏微分方程式のうち, 非局所分散項や非整数階分散項を持つような方程式を取り扱い, それらの初期値問題に対する解の漸近挙動の解析を行った. 具体的な研究実績は大きく以下の二つである.(1) 散逸項を伴う一般化Fornberg-Whitham方程式に関する研究分散効果が非局所的な畳み込み積分の形で与えられる, Fornberg-Whitham方程式について, その一般化方程式に散逸項を付与した問題の解の漸近挙動を考察した. この問題は非線形項が二次の場合に関しては, Fukuda-Itasaka(2021)の先行研究により, 解の第三次漸近形までが導出されており, 非局所分散項が解の漸近挙動に与える影響が明らかになっていた. 本研究では, フーリエ変換を通じた非局所分散項の分解を用いて, 非線形指数が二次よりも大きい場合に対する解の漸近挙動を解析し, 非線形指数に応じて解の第二次漸近形が分岐することや, 非局所分散項の影響は非線形指数が三次より大きくなければ第二次漸近形まではその影響が現れないことなどを明らかにした.(2) 三次の非線形項と非整数階分散項を伴う散逸・分散型方程式に関する研究空間一次元において, 三次の非線形項を持つ移流拡散方程式に, 非整数階の分散項を付与した問題の解の漸近挙動を考察した. この問題については, Karch(1999)による先行研究により, 線形解の高次漸近展開とDuhamel項の第一次漸近形が導出されており, それにより解の漸近公式が既に構成されていたが, 本研究では積分方程式を詳細に解析することでDuhamel項の第二次漸近形を構成し, 結果として既存の漸近公式を一般化することに成功した. (入野耀太氏との共同研究).

本年度は, 散逸と分散を伴う非線形波の偏微分方程式のうち, 非局所分散項や非整数階分散項を持つような方程式を取り扱い, それらの初期値問題に対する解の漸近挙動の解析を行った. 具体的な研究実績は大きく以下の二つである.(1) 散逸項を伴う一般化Fornberg-Whitham方程式に関する研究分散効果が非局所的な畳み込み積分の形で与えられる, Fornberg-Whitham方程式について, その一般化方程式に散逸項を付与した問題の解の漸近挙動を考察した. この問題は非線形項が二次の場合に関しては, Fukuda-Itasaka(2021)の先行研究により, 解の第三次漸近形までが導出されており, 非局所分散項が解の漸近挙動に与える影響が明らかになっていた. 本研究では, フーリエ変換を通じた非局所分散項の分解を用いて, 非線形指数が二次よりも大きい場合に対する解の漸近挙動を解析し, 非線形指数に応じて解の第二次漸近形が分岐することや, 非局所分散項の影響は非線形指数が三次より大きくなければ第二次漸近形まではその影響が現れないことなどを明らかにした.(2) 三次の非線形項と非整数階分散項を伴う散逸・分散型方程式に関する研究空間一次元において, 三次の非線形項を持つ移流拡散方程式に, 非整数階の分散項を付与した問題の解の漸近挙動を考察した. この問題については, Karch(1999)による先行研究により, 線形解の高次漸近展開とDuhamel項の第一次漸近形が導出されており, それにより解の漸近公式が既に構成されていたが, 本研究では積分方程式を詳細に解析することでDuhamel項の第二次漸近形を構成し, 結果として既存の漸近公式を一般化することに成功した. (入野耀太氏との共同研究).