分散効果を伴う粘性保存則に対する初期値問題の時間大域解の第２漸近形の構成

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当該年度における本研究では, 粘性Fornberg-Whitham方程式と呼ばれる, 分散効果が非局所的な畳み込み積分で与えられる粘性保存則方程式の解の漸近挙動に関する考察を行った. この方程式は移流・分散・散逸の三つの効果を考慮した非線形波の方程式の一種であり, 前年度までの研究で扱ってきたKdV-Burgers方程式の仲間とみなせる. 前年度までの研究では, 一般化KdV-Burgers方程式の解の漸近形が非線形散逸波に漸近することを示し, 並びに解の第2漸近形の構成を行い, 漸近形である非線形散逸波への最適な漸近レートを導出した. これにより, 移流・分散・散逸の効果の兼ね合い次第では, 過去に知られていなかった漸近レートが生じ得ることが明らかになっている. これを踏まえ, 当該年度は非局所分散効果が解の大域的な挙動にどの様な影響を与えるかに着目し研究を行った. 結果として, まず解の第2漸近形に関しては, フーリエ変換を通じて非局所分散項をそのシンボルの形に書き直し変数変換を用いることで, KdV-Burgers方程式の解の第2漸近形と本質的に同様の関数を導出した. 更に本研究では, より高次の漸近形を構成することで, 非局所分散項と通常の分散項との違いを分析することに成功した. 具体的には, 第3次漸近形を構成することに成功し, 第2漸近形の構成時に摂動として処理していた非局所分散項の余りの項の積分量が第3次漸近形の係数に現れることがわかった. またこの解析により, 摂動方程式の解の第2漸近形への最良な漸近レートを導出することにも成功した. なお, この結果から間接的にKdV-Burgers方程式の解の第3次漸近形も導出できるため, 実質的にこれまでの研究を一般化したものにもなっている. 当該結果は現在論文執筆中であり, 今年度初めには国際雑誌に投稿予定である.