超曲面の幾何とねじれコホモロジー

複素射影空間における超曲面の補集合上のねじれコホモロジーは、一般超幾何関数論において中心的な研究対象であり、また、局所係数コホモロジーとして位相幾何学的性質に結びついている。近年では超平面配置である場合においての研究が活発に行われている。ねじれの状況がジェネリックであるとき、ねじれコホモロジーは最高次を除いて消滅すること(消滅定理)が知られている。しかし、ある特殊な状況下において、ねじれコホモロジーが消滅しない現象がある。この現象を解明することを目的として本研究を行った。実際には、これに関する混在するいろいろな結果を収集・整理を行い、また、この特殊な状況を精密化し、詳細な消滅定理・非消滅定理を考察した。まず、超平面配置における場合を扱った。ラテン方陣・ラテン超方格からサーキット族を構成することができ、マトロイドを構成することができる。このマトロイドの構造をもつ超平面配置は、ねじれコホモロジーが非消滅となるねじれを持つことを示した。また、知られている全ての具体例は、この方法で構成されることがわかった。より一般に、超曲面の場合においては、この非消滅の現象が、代数幾何学的な性質である超曲面の線形系の次元と関連していることを確認した(非消滅定理)。しかし、まだ、非消滅の現象を完全に解明するには至っていないが、本研究によって、離散数学であるマトロイドの実現可能性や線形系をなす超平面配置の存在性の問題となった。ゆえに、本質的に難解な問題であると思われるが、非消滅の現象の全体像がつかめてきたと思われる。

複素射影空間における超曲面の補集合上のねじれコホモロジーは、一般超幾何関数論において中心的な研究対象であり、また、局所係数コホモロジーとして位相幾何学的性質に結びついている。近年では超平面配置である場合においての研究が活発に行われている。ねじれの状況がジェネリックであるとき、ねじれコホモロジーは最高次を除いて消滅すること(消滅定理)が知られている。しかし、ある特殊な状況下において、ねじれコホモロジーが消滅しない現象がある。この現象を解明することを目的として本研究を行った。実際には、これに関する混在するいろいろな結果を収集・整理を行い、また、この特殊な状況を精密化し、詳細な消滅定理・非消滅定理を考察した。まず、超平面配置における場合を扱った。ラテン方陣・ラテン超方格からサーキット族を構成することができ、マトロイドを構成することができる。このマトロイドの構造をもつ超平面配置は、ねじれコホモロジーが非消滅となるねじれを持つことを示した。また、知られている全ての具体例は、この方法で構成されることがわかった。より一般に、超曲面の場合においては、この非消滅の現象が、代数幾何学的な性質である超曲面の線形系の次元と関連していることを確認した(非消滅定理)。しかし、まだ、非消滅の現象を完全に解明するには至っていないが、本研究によって、離散数学であるマトロイドの実現可能性や線形系をなす超平面配置の存在性の問題となった。ゆえに、本質的に難解な問題であると思われるが、非消滅の現象の全体像がつかめてきたと思われる。