ゼータ関数の高階導関数の漸近的挙動の解明とその応用

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以下,本稿ではζ^<(k)>(s)でRiemannゼータ関数のk階導関数(k=0,1,2,...)を表わす.本年度の研究成果を以下の五項目に分けて述べる.1. ^<(k)>(s)(k【greater than or equal】1)の二乗平均の誤差項 E(T;k)に対するAtkinsonこの方面の予備的成果として,一般化された約数関数d^<(h,k)>(n)=Σ_<(lm=n)>log^hllog^km(h,k=0,1,2,...)に関するVoronoi型和公式が証明されている.今後はこの和公式をもとに,最終目標であるE(T;k)のAtkinson型公式を確立したい.2. ^<(k)>(s)^2(k【greater than or equal】1)の近似関数等式の導出とその剰余項R(s;k)の確この方向では,近似関数等式の確立の基礎となるζ(s-a)ζ(s-b)(a,bは複素パラメタ)のTitchrnarsh型級数表示の導出は完了した.今後はこの級数表示をもとに,ζ^<(k)>(s)^2の近似関数等式の証明し,さらにはその剰余項 R(s;k)を十分満足できる形に評価したい.3. 重み付き積分によるζ(s)の二乗平均へのアプローチζ(s)の二乗平均を扱う際,重み付き積分∫^∞_<-∞>|ζ(σ+i(T+t))|^2e^<-(t/Δ)^2>dt(Δ>0はパラメタ)から出発する方法が有効である.本研究者は,名古屋大学・松本耕二氏とともに,この方法をDirichlet L関数の場合に応用した.その成果は英文論文として欧文会議録に発表予定である.4. Lerchゼータ関数に付随した羃級数・漸近級数の研究とその応用本研究者はζ(s)の一般化であるLerchゼータ関数φ(λ,α,s)(λ,αは実パラメタでα>0)のパラメタαに関する羃級数及び漸近級数をMellin-Barnes型積分表示を用いて導出し,さらにそれらが種々の応用を持つことを示した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表した.5. ζ(s)の正の奇数点における特殊値に付随した変換公式の解明ζ(2n+1)(n=1,2,...)の急収束する級数表示については,古典的なWiltonの公式[Messenger Math.(1922/23)]や,最近Cvijovic & Clinowski [Proc.Amer.Math.Soc.(1997)]によって得られた公式が有名であるが,本研究者はMellin-Barnes型積分の導入により,これらの級数表示が,ある種の変換公式の特別な場合として捉えられることを発見した.結果は英文論文として欧文学術雑誌に発表予定である.