ゼータ関数の平均化とその漸近的挙動

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計画調書に記したフルビッツゼータ関数ζ(s,α)の虚軸方向への2乗平均の誤差項E(T,α)の漸近挙動に関しては、その出発点となるE(T,α)に対するAtkinson型漸近公式の確立が困難を極めており、残念ながら現在までのところ明確な結果を得るまでには至っていない。一方、ζ(s,α)自身のパラメタαに関する2乗平均の研究(本報告書項目11研究発表、論文[11-1]参照)の手法をレルヒゼータ関数の場合に応用して、ほとんど最良の形の漸近公式を得ることができた(論文[11-2]参照)。この漸近公式の導出においては、計画調書に記したMellin-Barnes型積分を通して、ガラスの超幾何関数の諸性質が有効に機能することも明らかにされた。さらに上記のMellin-Barnes型積分は、ゼータ関数に関連する諸問題の研究に効力を発揮することが明らかになりつつある。そのディリクレL関数の2乗平均への応用は論文「An application of Mellin-Barnes'type integrals to the mean square of L-functions」としてまとめられ、現在欧文学術雑誌に投稿中である。またこの種の積分は、ゼータ関数を係数とする種々のベキ級数の和公式及び漸近的挙動の研究にも応用できる。詳細は論文[11-3]および「Mellin-Barnes'type integrals and power series with the zeta-function in the coefficients(単著)」、「On the Hurwitz Lerch zeta-function(近畿大学九州工学部・金光滋氏、九州大学大学院・吉元昌己氏との共著)」としてまとめられ、後者の2つの論文は欧文学術雑誌に投稿の予定である。現在この研究テーマをさらに発展させる形で、ゼータ関数の超幾何型母関数を導入し、その諸性質を究明中である。詳細については欧文論文「Hypergeometric type generating functions for the Riemann zeta-function」を準備中である。今後は、本来の問題であるE(T,α)の漸近的挙動の研究を含め、これと密接に関連するζ(s,α)ζ(s,β)(α,β>o)やζ^<(h)>(s)ζ^<(k)>(s)(h,k=0,1,2...)に対する近似関数等式およびその残余項の研究も行いたいと考えている。