消える熱源を持つ準線形放物型方程式の局所解または大域解の存在・非存在

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今年度は,初期値がu_0(x)である方程式u_t-△u^m=K(x)u^pのCauchy問題の非負解について考えた。ただし, p>m【greater than or equal】1,u_0(x)【greater than or equal】0,∈C(R^N)で,K(x)=KD(x)としてσ∈(-∞,∞)に対してK_D(x)=〓{|x|^σ x∈D∩{|x| 1}}0 その他,σ=-∞の時K_D(x)={1|x|【less than or equal】1 0|x|>1}であるものを考える。ここで,DはR_Nまたは,原点を中心とする錐領域D={x∈R^N＼{0};x/|x|∈Ω},Ω(≠φ)⊂S^<N-1>はS^<N-1>内の境界が滑らかな領域である。このとき,a^*_σ=max{σ/(p-1),(-2)/(m-1)},P^*_<m,σ>=m+(2+max{σ,-N})/N,α^*_σ=(2+max{σ,-N})/(p-m)=(N(P^*_<m,σ>-m))/(p-m)とすると,このCaucy問題の局所解と大域解の存在,非存在について次のようなほぼ完全な結果を得ることができた。すなわち,簡単にいうと1,a^*_σは局所解についてのcritical exponentである。2,P^*_<m,σ>(>m)は大域解についてのcritical exponentである。3,α^*_σは,初期値u_0(x)の|x|→∞の時の増大度に関するもう一つのcritical exponentである。ただし,critical exponentとは,global existence caseとblow-up caseを分ける数の事をいう。このように,局所解と大域解の存在,非存在について明らかにするという今年度の研究目的はCauchy問題についてはほぼ完全に達成された。