極値的離散構造の研究

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1. 平面上に頂点を配置し、2点間の距離が整数のときのみ辺で結んで得られるグラフを平面上の整数距離グラフという。どんな有限単純グラフも平面上の整数距離グラフとして表せることを示した。また整数距離グラフがラムゼー性を持つことも示した。(論文は発表済)2. 被覆数tをもつk集合族の最大サイズの漸近的な評価を得た。(論文は発表済)3. 互いに交差するt交差族の最大サイズに関するいくつかの不等式を得た。これによりFurediが提起した三つの予想のうち一つを証明し残りの二つに反例と実際に成立つ最良の結果を与えた。(論文は発表済)4. 極値集合論のErdos-Ko-Radoの定理(あるいはそのAlhswede-Khachatrianによる精密化)を多重集合の場合に拡張し、ハミング距離を入れた空間内で、直径を一定以下に制限した点集合の極大な配置の最適解をほとんどの場合について決定した。確率論的手法の利用により、証明を簡略化できた。(論文は発表済)5. 平面上の完全2部グラフのフレームワークの剛性の特徴付けを行なった。(論文は投稿中)6. 円周上のランダム点が生成するダイグラフの特徴付けを組合せ論的考察を利用して行なった。(論文は投稿中)7. n倍nimについて、後手勝ちとなる初期状熊について決定し、その漸近的評価も得た。(論文は投稿中)8. 多重に交差する重みつき交差族に関する極値構造のサイズの評価を得た。さらに3重に交差する重みつき2交差族についても最大サイズの評価を得た。(論文は準備中)9. ラムゼー理論の本の原稿執筆を行なった。上記の1から8のすべてにおいて、ワークステーションを用いた数値実験が役に立った。8に述べた多重交差族については現在も引続きどのような拡張が可能かを検討中である。9に挙げた原稿は、証明の簡略化などを含めて原稿の改良を続けているところである。