重みつき多重交差族に関する研究

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前年度に解決した「重みつきr重1交差族の最大サイズ問題」および「重みつき3重2交差族の最大サイズ問題」の結果をもとに、今年度は、「3重2交差的k集合族の最大サイズ問題」を研究し、この場合にもErdos-Ko-Rado型の定理が成り立つことを示した。さらにこれを利用して、「3重2交差的Sperner族の最大サイズ問題」を漸近的に解くことに成功した。また同様の手法で「4重2交差的Sperner族の最大サイズ問題」の厳密解も得た。証明には組合せ的構成と、確率論的評価の両方を用いた。なお確率論的な議論においては集合族に対応するランダムウォークの確率の数値計算が本質的であり、ワークステーション(Standard System 801S)による数値計算が有効であった。これらの結果について6月にハンガリーで行なわれたハイパーグラフの国際会議で招待講演を行なった。また、前年度の研究をもとに新たに生まれた問題として、非自明な(即ち固定点を持たない)重みつきr重1交差族の最大サイズ問題に取組んだ。重みがない場合はBrace-Daykinの定理により解決しているが、重みつきの場合は少し状況が異なる。例えば5重1交差族では、Brace-Daykin型よりもよい構成を見つけることに成功した。一方、r【greater than or equal】13ならば非自明な重みつきr重1交差は、Brace-Daykin型が極値構造となる。その証明のためには、集合族に対応する特性根の数値的な評価が重要であり、ここでもワークステーション(Standard System 801S)による数値計算が有効であった。なおr【greater than or equal】6でも同じ結果が期待できるが、証明は今後の課題である。さらに離散幾何的な問題として、平面上の格子点n角形の最小面積を評価する問題にも取り組んだ。これはイギリスのBarany教授との共同研究で、6月にイギリスに行って面積の評価に関するいろいろな検討を行なった。またその成果に関して12月に龍谷大学における応用数学合同研究集会で講演を行なった。今年度は上に述べた研究に関して4編の論文を書き、現在投稿中である。