クラックの入った有界領域上のラプラス作用素の固有値について

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MをR^2の滑らかな領域とし、C:[0,s_0]→R^2を自分自身とは交わらない滑らかな曲線で、C(0),C(s_0)∈∂M,C((0,s_0))⊂Mを満たすものとする。t∈[0,s_0]に対し、M_t=M＼C((t,s_0))とおく。L_tを∂M上でDirichlet条件、クラックC((t,s_0))上でNeumann条件に従うM_t上の(-Δ)とする。λ_j(t)をL_tのj番目の固有値とする。MとCは次の(i),(ii)を満たすとする:(i)∃r_0>0s.t.M∩{x∈R^2;|x|<r_0}={x=(x_1,x_2)∈R^2;|x|<r_0,x_1>0},C(t)=(t,0)for t∈[0,r_0].(ii)The curve C intersects ∂M transversely at C(s_0).ここでM＼C((0,s_0))の2つの連結成分をM_+とM_-とする。L^±_0を∂M∩∂M_±上でDirichlet条件、C((0,s_0))上でNeumann条件に従うM_±上の-Δとし、λ^±_1をL^±_0の第1固有値とする。またφ^±_1をL^±_0の固有値λ^±_1に対応する固有関数で、‖φ^±_1‖_<L^2(M_±)>=1,φ^±_1>0 on M_±を満たすものとする。φ^±_1は原点の近傍でべき級数展開:φ^±_1(x)=Σ^∞_<j=1>Σ^j_<k=1>C^±_<j、k>r^<2j-1>cos(2k-1)θで表わされる。ここで(r,θ)はxの極座標である。K={j【greater than or equal】2;(C^+_<j,j>)/(C^+_<1,1>)【double plus】(C^-_<j,j>)/(C^-_<1,1>)}とおく。ここで、(iii)λ^-_1^+=λ^-_1を仮定する。K≠0のとき、ν=minKとおく。またλ_0=λ^+_1(=λ^-_1)とおく。このとき、次の定理を得た。定理λ_2(ε)〜λ_0+Σ^^∞__<m=1>Σ^^<m-1>__<n=0>λ_<m,n>ε^<2m>(logε)^n as ε→0,λ_<1,0>>0.K【double plus】0 ⇒ λ_1(ε)〜λ_0+Σ^^∞__<i=2ν-1>Σ^^<[(i-2ν+1)/3]>__<j=0>μ_<i,j>ε^<2i>(logε)j as ε→0,μ_<2ν-1,0>.K=0 ⇒ ^∃ε_0>0 such that λ_1(ε)=λ_0 on (0,ε_0).