クラックの入った有界領域上のラプラス作用素の固有値について

点击翻译按钮获取中文摘要

M⊂R^2を境界が滑らかな有界単連結領域とし、c:[0,t_0]→R^2を∂M上の2点を結ぶ、M内の滑らかな曲線とする。c(0)=0を仮定する。ε∈[0,t_0)に対し、M_ε=M＼c((ε,t_0])とおく。α∈(0,π)とする。b>0に対し、Π^b_α={(x_1,x_2)∈R^2|x_2>0}＼{(r cosα,r sinα)∈R^2|r≧b}とおく。D(a,r)をaを中心とする半径rの開円板とする。ここで、∃_<r_0>>0,∀_ε∈[0,r_0],M_ε∩D(0,r_0)=Π^ε_α∩D(0,r_0)を仮定する。M_+,M_-をM_0の連結成分で(±_<ε_0>/2,0)∈∂M_±を満たすものとする。L_εを∂M上でDirichlet境界条件、亀裂c((ε,t_0))上でNeumann境界条件に従うM上の(-Δ)とする。また、L_±を∂M∩∂M_±上でDirichlet境界条件、c((0,t_0))上でNeumann境界条件に従うM_±上の(-Δ)とする。L_ε,L_+,L_-の第1固有値をそれぞれλ_1(ε),λ^+_1,λ^-_1で表す。本研究ではλ^+_1<λ^-_1の場合に、λ_1(ε)のε→0+とするときの精密な漸近展開を得た。ここで、得られた結果の一部を述べる。β=α/πとおき、β=q/s,(q,s)∈N^2,qは奇数,sは偶数,qとsは互いに素であると仮定する。このとき、λ_1(ε)のε→0+とするときの漸近展開を得た:【numerical formula】ここで、主要項の係数μ_<1,0,0,0>は正の定数で、L_+の第1個有値に対応する固有関数を用いて具体的に表される。