Backgammon代数についての研究

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本年度は,昨年度得られたパラメータ無しの場合のBackgammon代数の既約表現の構成に関する結果を5月に行われた国際研究集会「Formal Power Series and Algebraic Combinatorics 01」で発表を行った。研究集会出席の直前,証明の一部に不備が見つかり,8月頃までその修正に従事した。不備のあった箇所は,対称群の表現に用いられる鉤長(hook-length)と軸間距離(axial distance)の間の関係式で,今まで知られていない関係式が生じており,それを証明する必要があった。まず,その関係式が,一般の鉤長と軸間距離の間に成り立つものであることを数式処理ソフトを用いて多くの例に当てはめることにより確認した。確認作業の最中に,Schur関数によく現れる式が生じていることに気付いたが,果たしてSchur関数を用いることにより,関係式を証明することが出来た。その際,修正箇所の証明に用いた手法が,現在知られている関係式の新しい証明法を与えていることに気付いた。その後8月に上智大学で行われた第10回日本数学会国際研究集会「代数群と量子群の表現論」の出席者との討論から,これらの関係式q変形バージョンへの拡張を思い付き,9月からはその証明に従事した。こちらの証明については組み合わせ論の諸結果を複数利用していることと新しい関係式そのものの発見の重要性から,独立した論文で発表する価値があると判断し,2月にその結果をEuropean Journal of Combinatoricsに投稿した。これらの作業のため当初の研究課題であった,パラメータq付きのBackgammon代数の既約表現の構成に関する研究は部分的な結果に留まったが,引き続き研究を続け,できるだけ早く結果を発表する予定である。