特異代数曲線の標準環と特殊一次系

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非特異代数曲線を標準写像で埋め込み、線形部分空間からの射影を考察した。その射影に付随する直線束が単一生成的になるための条件を曲線の不変量を用いて記述することを試みた。また、射影による像が2次超曲面で切り取られるための条件を考察した。射影をとらない状態では、マックスネーターの定理およびエンリケス・ペトリの定理として知られているように、標準束はクリフォード指数が正のとき単一生成的であり、クリフォード指数が2以上ならば標準像は2次超曲面で切り取られる。そこで、射影の中心と標準曲線の交点の数とクリフォード指数を用いれば上記の問題の答えが得られるだろうという作業仮説に基づいて考察を進めた。その結果、ほとんどすべての曲線に対して、射影付きの状態でマックスネーター型定理およびエンリケス・ペトリ型定理を証明できた。実際、クリフォード指数を与える、ある意味で最も小さな線形系に属する数個の点が生成する線形部分空間からの射影は、それを誘導する直線束を著しく弱くし、その結果、単一生成性が崩れていくことがわかった。例えば、次数5以上の非特異平面曲線を例にとると、クリフォード指数は次数から4を減じることで得られる。平面曲線と一般の直線の次数個の交点の中から丁度クリフォード指数個の点を選んで、それらが生成する線形部分空間を中心とする標準曲線の射影を考えると、それは単一生成的でない。これは大変豊富であるが単一生成的でない直線束の具体例にもなっている。また、クリフォード指数から1を減じた個数の点が生成する線形部分空間からの射影は単一生成的だが、像は2次超曲面では切り取られない。