On normal canonical surfaces and admissible singularities

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複素数体上で定義された極小な非特異射影代数曲面は，標準写像が像（標準像）の上に双有理であるときに標準曲面であるという．本研究の目的は標準像が正規曲面であるような標準曲面の幾何学的な構造を，標準像がもつ特異点との関連で研究することにある．幾何種数４で標準像の次数が６であるようなものは申請者の研究でかなりの部分が明らかになっている．しかしvolume（標準束の自己交点数）が10と11になる例は知られておらず，その具体例を構成することが喫緊の課題になった．2022年度は足利・松本によって特異ファイバー芽のモジュライ理論が発表された．この画期的な成果を本研究に積極的に取り入れるべく，幾何種数p_gを４に限定せずに次数が3p_g-6の正規標準曲面を研究した．p_gが６以上ならば必ず種数３の非超楕円曲線束をもつからである．また，この次数の場合には標準像の特異性がたったひとつのファイバー（標準退化ファイバー）に集中する．標準退化ファイバーの半安定還元を経由して足利・松本理論を荒く適用することにより，分類できた多くの標準退化ファイバーが原子ファイバーの資格をもつことが明らかになった．また，高幾何種数の標準曲面をも考察の対象としたことで，種数３の非超楕円曲線が超楕円曲線に「退化」する族を相対化して，懸案の，幾何種数４の正規標準曲面の構成問題にも応用できる目途が立った．新型コロナウイルスを病原とする肺炎の流行によって，他の研究者と直接会って議論するという研究形態をとることは本年度前半も難しい状況だった．その欠点を補うために，Zoom等による遠隔開催のオンラインセミナーを全国の研究協力者と2か月に１度程度の割合で開催して議論を重ねた．また2022年度後半には状況が改善しつつあったため，参加者を限定した上で研究集会「代数曲面ワークショップ」を徳永浩雄氏（東京都立大）らと共催した．対面で行う研究集会の意義を再認識した．