リーマンヒルベルト問題とホモロジー方程式系からみる複素漸近解析

本年度の研究目的に、沿った結果として次を得た。1.多変数フックス型方程式のフロベニウスの定理を証明した。そこで、リーマンヒルベルト問題が、本質的に重要な役割を果たすことを示した。これは、共鳴を持つベクトル場の標準型に応用できる。これに関連して、ベクトル場の標準形理論でよく知られたHartmanの定理に対応する特異偏微分作用素の立場からの結果を、多変数フックス方程式に対して証明した。この定理は、特異ベクトル場の標準型の研究に応用すると、上の定理の別証明を与える。2.なめらかな関数で可積分であるが、解析関数のクラスで可積分でないハミルトン系の存在と、関係するモノドロミー現象について明らかにした。これは、発散現象とモノドロミーが、可積分性を決めてくる新しい興味ある現象であり、今後の研究が期待される。これ以外に、次の結果を得た。3.完全WKB法を、ベクトル場の標準型の問題に適用して、古典的なポアンカレの定理を、ボレル総和法の立場から、再証明した。これは、さらにストークス幾何学との関係も示唆しており、標準型理論の新しい見方をあたえる。この方法を小分母の問題に適用して、完全漸近解析の立場から、解析接続とボレル総和法を用いて、この問題のあたらしい解き方を提示した。とくに、Diophantine条件を用いないで、解を構成する方法を提示した。4.3に関係して、特異偏微分作用素で、小分母の問題が現れるときに、Diophantine条件を用いることなく、正則解が存在するための、非線形項の十分条件と必要条件を研究した。5.可換なベクトル場の系の標準型に関して、線形部分がnilpotent partを持つ場合に、現れる発散のGevrey指数は、Diophantine条件で決まることを証明し、Sternbergの定理を可換な系に対して、拡張した。

本年度の研究目的に、沿った結果として次を得た。1.多変数フックス型方程式のフロベニウスの定理を証明した。そこで、リーマンヒルベルト問題が、本質的に重要な役割を果たすことを示した。これは、共鳴を持つベクトル場の標準型に応用できる。これに関連して、ベクトル場の標準形理論でよく知られたHartmanの定理に対応する特異偏微分作用素の立場からの結果を、多変数フックス方程式に対して証明した。この定理は、特異ベクトル場の標準型の研究に応用すると、上の定理の別証明を与える。2.なめらかな関数で可積分であるが、解析関数のクラスで可積分でないハミルトン系の存在と、関係するモノドロミー現象について明らかにした。これは、発散現象とモノドロミーが、可積分性を決めてくる新しい興味ある現象であり、今後の研究が期待される。これ以外に、次の結果を得た。3.完全WKB法を、ベクトル場の標準型の問題に適用して、古典的なポアンカレの定理を、ボレル総和法の立場から、再証明した。これは、さらにストークス幾何学との関係も示唆しており、標準型理論の新しい見方をあたえる。この方法を小分母の問題に適用して、完全漸近解析の立場から、解析接続とボレル総和法を用いて、この問題のあたらしい解き方を提示した。とくに、Diophantine条件を用いないで、解を構成する方法を提示した。4.3に関係して、特異偏微分作用素で、小分母の問題が現れるときに、Diophantine条件を用いることなく、正則解が存在するための、非線形項の十分条件と必要条件を研究した。5.可換なベクトル場の系の標準型に関して、線形部分がnilpotent partを持つ場合に、現れる発散のGevrey指数は、Diophantine条件で決まることを証明し、Sternbergの定理を可換な系に対して、拡張した。