環拡大と環のガロア理論

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環拡大の研究には従来より、分離拡大、ガロア拡大など拡大を対象とした定性的方法と、拡大環を対象とした構造論-構成論的方法がある。ここでは、主としてこの方面の研究成果について述べる。[1]分離多元環、分離拡大、ガロア拡大、及びその関連分野の研究。(ア)体上の多元環及び群環はその体上の行列環の部分多元環としてとらえることができる。ここでは、行列環の部分単純多元環の分離性とtrace mapとの関係、またそれとtrace mapの像の濃度との関係を調べ、それを用いて、行列環の部分単純多元環が分離的になるための必要十分条件を与えた。これは、多元環の構造を究明するのに有効である。例えば、局所有限な群に関するBurnsideの問題に対して、その証明を見通しよくすることができる(論文1)。(イ)有限体のガロア拡大に関して、符号理論においていくつかの有益な結果を得た。有限体Fq上の線形符号の一種であるk次元のMDS符号に対し、その基本的問題の1つは、次元kを与えたとき、それに対する最大語長を決定し、最大語長のMDS符号を分類することだが、q>9のときはまだ未解決である。ここでは、q=13の場合にその分類に対し、有益な成果を得た(論文2)。[2]環拡大及びその関連分野の研究。(ア)零と異なる任意のイデアルによる剰余環が有限である環を剰余有限環という。剰余有限環の環拡大について考察し、剰余有限環の零と異なるイデアルに対してノルムを定義し、剰余有限環のイデアルの集合が高々可算個であることを示した(論文3)。(イ)環拡大のうち有用なものの多くは歪多項式環や正則環などある種の重要な環の剰余環として得られる。ここで、まず自己入射的強π-正則環のジャコブソン根基による剰余環は、強正則環上の全行列環の有限直和に対しても成り立つことを示した(論文4)。