多項式環と分離拡大

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可換環上の分離拡大やガロア拡大の研究は、内外において、いろいろな立場からなされているが、原始元をもつガロア拡大は多項式環や既約多項式と密接な関係をもち、研究上各種の重要な情報を提供する素材である。また、応用上からも符号理論との関連において有益な研究対象である。ここでは主としてこの方面の研究成果について述べる。[1] 体上のガロア多元環の原始元に関する研究。体上のガロア拡大体の原始元についてはすでにいろいろなことが知られているが、体上のガロア多元環の原始元については存在条件や構成方法に関して不明な点が多い。ここでは、ガロア多元環が原始元をもつための条件を既約多項式や極大部分体を利用して明確に与える。(裏面の第一、第二の論文参照)[2] 有限体上のガロア多元環の原始元に関する研究。有限体上のガロア多元環は有限体論や符号理論において重要な役割を果たす。ここでは原始元の存在条件を拡大次数や組成列との関連において与えた。その条件はアリスメチィカルで利用しやすい。また、これは原始元をもつガロア拡大の範囲を決定するものとして有益な成果であると思われる。この成果については論文準備中である。[3] 半局所環上のガロア拡大の原始元に関する研究これは[2]の成果を半局所環上のガロア拡大にまで拡張することを試みたものである。また、ガロア拡大のうちで重要な位置を占めるクンマー拡大に対し、原始元の存在条件や構成に関して精密な結果を得た。これについても論文準備中である。[4] その他の研究。これについては、符号理論、環の分離拡大、環の分解、環の可換性に関していくつかの有益な成果が得られた。