非負曲率を持つリーマン多様体の研究

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本研究では、リーマン多様体の曲率とその多様体の構造との関係について、幾何学と解析学の立場から総合的に研究を行った。具体的には、特に次の2つの問題に重点を置いて研究を行い、それぞれに成果を上げた。「微分可能球面定理」;多様体の局所的性質と大域的構造を結びつけた定理として、球面定理と呼ばれる次の定理がある。「完備リーマン多様体でその曲率が1/4<k≦1をみたすとき、その多様体は標準的球面と位相同型である」。一方、標準的球面と位相同型であるが、微分同型でない異種球面の存在が知られている。この研究では、「リーマン多様体の曲率がどのような条件を満たすとき、その多様体は標準的球面と微分同型となるか」という問題について考えた。この問題について成果を上げると同時に、他の多様体にも応用できるいくつかの公式も発見した。「共形平坦な超平面の研究」;共形平坦とは、リーマン計量を使って述べると、ワイルの共形曲率テンソルが消えるという条件となる。この条件は幾何学的にも、解析学的にも非常に難かしいものであり、この条件から直接、研究を行うことは今のところ困難である。よって、この共形平坦という事が1変数関数論の拡張であるという観点に立って、その立場から共形平坦な多様体の1次元高いユークリッド空間への共形埋め込みの問題を研究し、成果を得た。