強擬凸領域における再生核の族の漸近解析

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滑らかな境界を持つ強擬凸領域においてベルグマン核と双正則不変なゼゲー核を考える.それらを領域の対角集合に制限したものは,共に境界上に超幾何函数の形の特異性を持つ.即ち,領域の定義函数を一つ指定すると,それに関して負べきの形の強い特異性と対数の形の弱い特異性の和になっている.これらの特異性の係数となる函数から領域の境界の幾何学的な量を局所双正則不変な形に取り出そうというのが,フェッファーマンの目録である.領域が複素二次元の場合には,従来の研究によって,ウェイトが4以下の局所不変量が普遍定数の決定を込めて完全な形で取り出されている.ウェイトが5以下の局所不変量を取り出せなかった主な理由は,ウェイトが4のCR不変量を領域内部に近似的に局所双正則不変な形に拡張する仕方がわからなかったことである.当研究において,複素二次元領域の場合に,ウェイトが4のCR不変量がワイル不変量であることがわかった.このことを使うと,ベルグマン核と不変なゼゲー核に含まれるウェイトが5以下の局所不変量を,普遍定数の決定を除いて,取り出すことができる.普遍定数を決定するためには,ベルグマン核・不変なゼゲー核・複素モンジュ-アンペール境界値問題の解・ワイル不変量の各々の漸近展開を,モーザーの標準形の係数を用いて必要なところまで書き表わせばよい.当研究においては,そのことも実行した.こうして,滑らかな境界を持つ複素二次元の強擬凸領域において,ベルグマン核と双正則不変なゼゲー核に含まれるウェイトが5以下の局所双正則不変量を,普遍定数の決定を込めて完全な形で取り出すことができた.