変分原理による非線形楕円型方程式の研究

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非線形楕円型方程式中、特に平均曲率型方程式、およびその変形方程式に焦点を当て、その解の構造について以下の結果を得た。まず、表面張力現象を表現する方程式は平均曲率型方程式である事に着目し、その一般型の方程式を取り上げ、ソボレフ空間の中での凸解析、ミニマックス理論をエネルギー汎関数に適用する事により、安定解、不安定解、更にそれらの解のパラメータ依存性を得た。この方程式は、汎関数の0と∞の近傍での漸近展開を調べる事により、p-ラプラシアンの中立型と見る事ができるが、解の振る舞いがまさしくその通りである事を証明する事ができた。次に、弾性膜に注目し、stress-strainの関係をあたえることによりそのモデル方程式を導出した。この方程式に対しても、上述の手法が適用可能であり、その解に対して上と同様の結果を得た。更に、非線形弾性弦のモデル方程式をnonparametrized formでかき、それについての解析を行った。外力が特別な場合については楕円積分を使う事により解の完全な表現が得られるが、一般の場合には関数解析的手法を適用することにより同じような解を捉える事ができた。また、球対称領域における弾性膜の方程式の球対称解にたいして、分岐理論的アプローチを行い、線形化方程式が退化しているにも拘らず、その解の分岐ダイアグラムを得る事ができた。水滴(pendent drop)の問題についても、やはり平均曲率型方程式であるが、球対称解の為す分岐が、あるパラメータの近傍で振動している事が数値計算により知られていたが、その数学的証明は得られていなかった。この問題に対し、常微分方程式の振動理論を適用する事により、数学的に厳密な証明を与える事ができた。その他、代数学的、幾何学的問題に対してもいくつかの結果を得る事ができた。