準線形楕円型方程式の研究

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弾性弦及び、弾性膜の定常状態に着目し、そのモデル方程式を導出すると共に、得られた準線形楕円型方程式の解析を行い、その解の構造について以下の結果を得た。まず、ストレスと変位が一般の単調関係で与えられているときの弾性弦のモデル方程式を導出し、外力が保存スカラー場あるいは保存ベクトル場で与えられている場合の解析を行った。得た結果は、解のパラメーターの依存性、安定解、不安定解の存在、特殊な外力が与えられた場合の解の正確な表示等である。ここで適用した方法は、主としてエネルギー汎関数をソボレフ空間上で考え、それに対して凸解析、ミニマックス理論を適用するという変分学的方法である。また、特殊な外力の場合にこの変分学的方法によって得た結果と楕円積分による解の完全な表現より得られるを比較する結果を比較検討した。次に、非線形弾性膜のモデル方程式を考察し、そのパラメータと解の依存を表す分岐ダイアグラムを球対称解に対して得ることができた。この方程式は表面張力等を表す平均曲率型方程式と異なり零解における線形化方程式が退化しており、ふつうの分岐理論は適用不可能であるため、線形化方程式にかわるものとしてp-ラプラス方程式を考えた。通常の場合と異なり、固有関数を係数とする退化型楕円型微分方程式が現れ、この可解性が問題となるが、球対称解の場合には関数空間をうまく設定することにより、解を構成することが出来た。その他、代数学的、幾何学的問題に対してもいくつかの結果を得る事ができた。