多粒子系の非線型微分方程式の研究

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1)離散Boltzmann方程式の進行波解と定常解この方程式は多粒子系のモデルのうち比較的数学的構造が単純であるが、適当な条件の下では粒子衝突の本質的な性質をよく記述することが知られている。したがって粒子系の複雑な現象である衝撃波の安定性や境界層の構造などを研究する上で重要なモデルである。しかしこれまで初期値問題についての研究はなされていたが、これらについては特定のモデル(Broadwellモデル)以外の研究は行われていない。本研究において、離散モデルを一般的な条件の下で考察し進行波解の存在を証明した。まずRankine-Hugoniot条件が分岐理論により定式化できることを示し、さらに線形化作用素式のスペクトル解析を行い、これを用いて非線形方程式のスペクトル分解を得た。そしてその主要部が満たすべき方程式の可解性の必要十分条件がエントロピー条件であることを示し、縮小写像の原理により進行波解の存在を示した。この結果は平成7年6月のTouron(フランス)の国際会議の招待講演に選ばれた。またこの解析は境界層に関する定常問題にも応用可能であることがわかり現在研究を進めている。2)Navier-Stokes方程式の境界値問題。多重連結領域におけるNavier-Stokes方程式の定常問題はこれまで各境界における流入量の積分値が小さいという仮定の下でのみ定常解の存在が証明されていた。本研究においてはこの仮定をはずし、この積分値がある除外値以外ならば値が大きくとも解が存在することを示した。この除外値の全体は可算離散集合を作る。本研究は森本浩子(明治大学)との共同研究である。