非線形ボルツマン方程式の境界値問題の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

離散速度ボルツマン方程式の半空間定常解の存在ボルツマン方程式の半空間定常問題は気体・流体の境界近傍における挙動の解析にとって最も基本的な問題である。特にDirichlet境界値問題は境界層理論、漸近解析、蒸発-凝固問題、輻射問題など多くの応用がある。しかし、これらの応用においては無限遠における平衡分布を指定する必要があり、このためこの半空間定常問題は過剰決定系となり、数学的解析が難しく長い間未解決のままであった。他方、近似方程式である離散速度ボルツマン方程式については、任意のDirichletデータに対し解の存在は知られていたが無限遠における振舞については何の結果も知られていなかった。本研究においてこの離散モデル方程式に対し無限遠での平衡分布を指定した上記過剰決定系の可解性条件を初めて明らかにした。具体的には、ある一般的な条件の下で、与えられた平衡分布のまわりの線形化問題に現れる作用素の正の固有値の個数が境界条件の個数と一致する時にのみ、与えられた平衡分布の近傍で解が存在することを示した。また、この結果を用いて境界層の厚さがKnudsen数の1次のオーダーであることを数学的に示した。非線形問題に対するこの種の結果としては初めてのもので、平成8年6月香港における第6回国際会議「双曲系問題」および平成8年12月ドイツにおける国際ワークショップ「多粒子系の非線形問題」の招待講演に選ばれた。