非線形現象の偏微分方程式に関する研究

点击翻译按钮获取中文摘要

非線形現象を記述する偏微分方程式は多岐にわたるが、その数学的構造には未解決の問題が多い。その一つに同じ現象があっても、考察の対象とする側面が異なったり、モデル化の方法が異なれば、異なった方程式が得られるが、それら方程式の相互関係の数学的解析がある。本研究の目的は、応用上も重要で有用な流体力学と気体運動論の基礎方程式の相互関係を、漸近理論の立場から明らかにする事である。本年度の主な研究成果は気体運動方程式であるボルツマン方程式と非圧縮粘性ナビエ・スト-クス方程式との漸近関係をはじめて数学的に厳密に明らかにした事である。本研究代表者はすでに前者の方程式に含まれる平均自由行程と呼ばれるパラメ-タが0に近ずくとき、その解は圧縮性非粘性流体方程式の解に時間局所的に収束する事を証明した。従ってそのままではナビエ・スト-クス方程式は得られない。そこでまずパラメ-タである平均自由行程による時間変数のスケ-リングを行うと、初期値が小さいという条件の下で、ボルツマン方程式は時間大域的に、パラメ-タの値に依らず一様に、解を持つ事を示した。証明には線形化方程式の生成する半群の一様な時間減衰評価と不動点定理を用いた。さらに得られた解はパラメ-タが0に近ずくとき時間大域的に収束する事、及びその極限はナビエ・スト-ク方程式の解を与える事を、先の半群のパラメ-タに関する漸近挙動とコンパクト性を用いて示した。さらに初期層が現れないための必要十分条件を得た。さらに確率論的立場から分担者内山らはより単純なモデルにたいして同様の研究を行った。すなわち、1次元排他過程はその粒子数が大きくなればある非線形放物型方程式の解に収束する事を証明した。