クラクタルと変換

点击翻译按钮获取中文摘要

本研究では、とくに、以下の研究で成果があった。すなわち、コンパクトな空間で、加群Rおよび乗法群R+が分配律を満たしつつ作用しており、さらに、Rの作用がstrictly ergodicとなるようなΩを重み付き置換法則(weighted substitution)を用いて構成する。さらに,このようなΩ上の0でない加法的コサイクルF(ω,t)でα次同次的なもの、すなわち、f(ω,t+s)=F(ω,t)+F(ω+t,s)かつF(λω,λt)=λαF(ω,t)が任意のωεΩ,t,sεR,λεR+に対して成立している0でない連続なFを構成する。このようなFは、自己相似な最小コサイクルとなり、また、Ω上のR不変な唯一の確率ボレル測度μに関して、定常でuniquely ergodicかつ0エントロピーの増分を持つ自己相似な確率過程となる。これは、フラクタル関数の一つの定式化であるとともに、従来、あまり研究されることのなかった決定論的な(deterministic)自己相似確率過程を定義する。このようなものの研究は、例えば、位相が不明の異なる周期の様々な周期関数の和の時間的累積として表現される現象の解明に役立つ。本研究では、α次同次的コサイクルの存在と性質、それらを用いた確率解析についての基礎的研究を行った。とくに、自明でなく、最小の容量O(n2)をもつα次同次的コサイクルの構成を行い、その性質を調べた。応用については今後の課題である。これとは別に、ジュリア集合等、複素力学系としてよく知られたフラクタル集合の記号力学系としての表現を求め、研究した。