多変量解析における高次元漸近理論の開発と応用に関する研究

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本研究では多変量解析における統計的方法において、標本数に比べ変数の次元が大であるときの漸近理論の開発と応用を目指している。このような場合でも変数選択を行った後で伝統的手法を適用することから、多変量線形モデルにおける3つの代表的検定統計量に関して高次元の枠組みでの漸近理論を開発した。このような高次元漸近理論に基づく近似公式は、次元数が大きいときのみならず、小さいときにもよい近似であることを指摘した。尤度比基準についての結果が掲載された(Tonda and Fujikoshi(2004))が、他の統計量についての結果は投稿中である(Wkaki, Fujikoshi and Ulyanov(2005))。さらに、変数の次元数が標本数より大きい場合の平均ベクトルに関する高次元検定統計量について、高次元の枠組みでの漸近近似を求めることに成功し、伝統的な方法との比較や、近似の精度を明らかにしている(Fujikoshi, Himeno and Wakaki(2004))。次元数が標本数に近いか、あるいは、大きい場合の推測問題や関連する漸近理論の問題は、今後の重要な研究課題であることに鑑み、解説論文を発表した(藤越(2004)、Fujikoshi(2005))。ここでは、このような問題の重要性、高次元データ解析へのアプローチ、高次元推測問題、高次元漸近理論、正準解析における次元の推定と変数の冗長性、SIR法を中心とした次元縮小型回帰モデル、Flexibleおよび罰金つき判別問題、などについて解説している。とくに、高次元データの解析法として、変数選択により次元を縮小するアプローチと、全変数を利用するアプローチについて言及している。また、伝統的漸近理論の枠組みで、多変量非席モデルにおける変数選択基準の改良に関する成果を導出している(Fujikoshi, Yanagihara and Wakaki(2005))。