有限群のコホモロジー環の研究

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我々の目的は有限群のコホモロジー論を可換環論の一分野として発展させることである。我々の結果を述べるために、コホモロジーの歴史を振り返る必要がある。有限群のコホモロジー環の概念は、多くの人々の努力の後、1956年にCartan-Eilenbergの“Homological Algebra"として結実した。これを補うのが米田理論である:コモホロジー環の元は加群の多重拡大として実現され、2つの拡大の接続が積を与える。その後1961年にEvensがコホモロジー環の有限生成性を示し、可換環論の一分野としてのきざしが見え始めた。続いて1971年のQuillenは、コホモロジー環のKrull次元が基本可換部分群の最大階数に等しいことを示した。次に望まれるのはNoetherの正規化であるが、標準的なものは存在しないだろうと長い間思われていた。ところが1989年になってその候補として、Evens-Priddyのuniversally stable elementの環が出現した。彼等はいくつか例をあげているが、コホモロジー環の試金石としてはextra-special群が定着しており、もしextra-special群でuniversally stable elementの環が美しい形をしていればuniversally stable elementの環を標準的なNoetherの正規化と認定できる。実際、研究代表者はextra-special群の場合に、universally stable elementの環が直交群の交換子群の不変部分環になることを、吉田理論を用いて示した(Tokyo Journal,1992)。これにより標準的なNoetherの正規化が確定し、コホモロジー環論の基礎が確立したといえる。応用として次のことが考えられる。1.コホモロジー環において不変式論を中心とする可換環論を展開する。2.固定されたSylow群を持つ有限群のコホモロジー環を分類する。我々はこの2つの方向で研究を継続中である。