双曲型偏微分方程式の解の構造の研究

双曲型方程式の特徴の第一は特異性の伝播現象である。この性質は方程式の解の基本的なものであり、この性質を調べることが研究のキーポイントとなる。双曲型方程式の最も典型的なものである波動方程式に対しては、局所的には特異性の伝播現象は単純である。しかし、物体の外部に於ける伝播現象において、長時間後の特異性の研究は一般にはきわめて複雑な問題となる。この研究は、局所理論より推察するに、外部問題に於ける古典軌道の長時間後の性質、エルゴード性と深く関連していることが予想される。我々はこの古典軌道と特異性の関係を調べ、散乱論への応用を研究した。このためには古典軌道の性質を調べるために、ゼーター関数を導入し、それに付随した作用素のスペクトルを調べ、その位置関係により、ゼーター関数の特異性を調べた。このゼーター関数の特異性は、波動方程式の特異性の内で、周期的振舞いをするものと深い関わりがあることが、わかった。以上のことを調べるために、我々は、波動方程式の解の性質を関数解析的方法により分解・表現することが必要であった。我々はこの方法を研究・発展させ、新しい関係式と評価式を導いた。これらの研究から解った波動方程式の諸性質は非線形方程式の研究、特に非線形双曲型方程式の解の存在、その性質の研究に有効であることが解っている。これらの成果を十分に活かすには今後の非線形方程式の解の性質の研究を組織的に行なう必要を感じている。この方面の発展は今後の研究課題であろう。

双曲型方程式の特徴の第一は特異性の伝播現象である。この性質は方程式の解の基本的なものであり、この性質を調べることが研究のキーポイントとなる。双曲型方程式の最も典型的なものである波動方程式に対しては、局所的には特異性の伝播現象は単純である。しかし、物体の外部に於ける伝播現象において、長時間後の特異性の研究は一般にはきわめて複雑な問題となる。この研究は、局所理論より推察するに、外部問題に於ける古典軌道の長時間後の性質、エルゴード性と深く関連していることが予想される。我々はこの古典軌道と特異性の関係を調べ、散乱論への応用を研究した。このためには古典軌道の性質を調べるために、ゼーター関数を導入し、それに付随した作用素のスペクトルを調べ、その位置関係により、ゼーター関数の特異性を調べた。このゼーター関数の特異性は、波動方程式の特異性の内で、周期的振舞いをするものと深い関わりがあることが、わかった。以上のことを調べるために、我々は、波動方程式の解の性質を関数解析的方法により分解・表現することが必要であった。我々はこの方法を研究・発展させ、新しい関係式と評価式を導いた。これらの研究から解った波動方程式の諸性質は非線形方程式の研究、特に非線形双曲型方程式の解の存在、その性質の研究に有効であることが解っている。これらの成果を十分に活かすには今後の非線形方程式の解の性質の研究を組織的に行なう必要を感じている。この方面の発展は今後の研究課題であろう。