非可換多様体の次元論とその分類問題について

C^*-環の次元論は非可換幾何学の発展に伴ないその重要性を認識されつつあるが、C^*-環の基本的構成法であるC^*-接合積について筆者は最近次の結果を得た:(Л,G,α)をC^*-力学系とし、Gをコンパクト可換群としたとき、そのC^*-接合積Л×_αGの複素次元dim_D(Л×_αG)は、Лのαによる不動点代数Л^αを使ってdim_D(Л^α)Λ2(] SY.ltoreq. [)dim_D(Л×_αG)(] SY.ltoreq. [)dim_¢(L^α)と評価出来る。この結果を応用して、Mを双曲型多様体とし、π_1(M)をその基本群としたとき、π_1(M)の縮約C^*-環C^*_r(π_1(M))の複素次元dim_DC^*_r(π_1(M))は1であることが示される。この結果により、M.A.Rieffelのdim_Dに関する予想に解答を与えることが出来た。即ち、n個の生成元をもつ自由群F_n(n22)の縮約C^*-環C^*_r(F_n)の複素次元dim_¢C^*_r(F_n)は1,n,+∞のいずれかであろうという彼の予想に対してdim_¢C^*_r(F_n)=1(n22)であることを示した。この結果はC^*_r(F_n)の可逆元全体はC^*_r(F_n)で稠密であることをいっている。更にこれは全ての安定有限な単純C^*-環Lについても、その複素次元dim_¢Лは1である可能性を示唆する。従ってこの種のC^*-環について、その代数的K-群において消滅法則がなりたつ。又極最近渚氏(千葉大理)と共同でZ_nとZ_m(n,m22)の自由積Z_m*Z_mの縮約C^*-環C^*_r(Z_n*Z_m)の複素次元dim_¢C^*_r(Z_m*Z_m)は1であることをdim_¢C^*_r(F_n)=1の応用として成り立つこと示した。

C^*-環の次元論は非可換幾何学の発展に伴ないその重要性を認識されつつあるが、C^*-環の基本的構成法であるC^*-接合積について筆者は最近次の結果を得た:(Л,G,α)をC^*-力学系とし、Gをコンパクト可換群としたとき、そのC^*-接合積Л×_αGの複素次元dim_D(Л×_αG)は、Лのαによる不動点代数Л^αを使ってdim_D(Л^α)Λ2(] SY.ltoreq. [)dim_D(Л×_αG)(] SY.ltoreq. [)dim_¢(L^α)と評価出来る。この結果を応用して、Mを双曲型多様体とし、π_1(M)をその基本群としたとき、π_1(M)の縮約C^*-環C^*_r(π_1(M))の複素次元dim_DC^*_r(π_1(M))は1であることが示される。この結果により、M.A.Rieffelのdim_Dに関する予想に解答を与えることが出来た。即ち、n個の生成元をもつ自由群F_n(n22)の縮約C^*-環C^*_r(F_n)の複素次元dim_¢C^*_r(F_n)は1,n,+∞のいずれかであろうという彼の予想に対してdim_¢C^*_r(F_n)=1(n22)であることを示した。この結果はC^*_r(F_n)の可逆元全体はC^*_r(F_n)で稠密であることをいっている。更にこれは全ての安定有限な単純C^*-環Lについても、その複素次元dim_¢Лは1である可能性を示唆する。従ってこの種のC^*-環について、その代数的K-群において消滅法則がなりたつ。又極最近渚氏(千葉大理)と共同でZ_nとZ_m(n,m22)の自由積Z_m*Z_mの縮約C^*-環C^*_r(Z_n*Z_m)の複素次元dim_¢C^*_r(Z_m*Z_m)は1であることをdim_¢C^*_r(F_n)=1の応用として成り立つこと示した。