微分方程式の対称性及び保存則の研究

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研究代表者(渡辺)は以前より、非線形発展方程式の対称性、及び保存則の立場からの研究を計算機による数式処理システム(REDUCE)を用いて行ってきた。REDUCEの代数モードは柔軟性に欠け、処理速度も遅いのでプログラミングは主として記号処理モード(LISPモード)で行われた。今回分担者の協力によりこのようなプログラムを用いて、形式的線形化可能な発展方程式すなわち高次の対称性は許容するが自明でない保存則を持たない発展方程式に関して、いくつかの結果を得た。まず単独方程式について、発展方程式の階数が4で最高階に関して定数係数線形であれば、適当な従属変数の変換によって、定数係数線形方程式に帰着することを示した。次に連立方程式の場合を考察したが、今までのプログラムは単独方程式にしか適用できなかったので、それを連立方程式の場合にも使えるように改良した。これらのプログラムを用いて形式的線形化可能な3階の2元連立発展方程式の分類が、ある特別なクラスに限ってではあるが、ほとんど完成した。しかし分類で得られた方程式が実際に何らかの変換で線形化されるのかどうか、また自明でない保存則を持つ連立発展方程式の分類等の問題はこれからの課題として残された。以上の成果は1992年10月に京都大学数理解析研究所で行われた研究集会「非線形可積分系の現状と展望」において発表され、近日中に講究録として出版される予定である。また無限個の高次対称性を許容する5階の多項式型発展方程式で非正規型のものはすでに分類されていたが、それらの方程式に対してMiura型の変換を構成し、すべての方程式がソリトン理論でよく知らされた正規型の方程式に帰着することを示した。