微分不可能項をもつ非線形方程式の解析

1987年Zabrejko-NguenがNumerical Functional Analysisand Optimization,vol.9,671ー684 において考察した方程式f+g=o(f:微分可能,g:微分不可能またはg=o)の重要性は近年いろいろな分野で認識されつゝある。たとえば、Dirichlet問題-Δu+q_<(u)>=r inΩ u=φ on∂Ω (g:滑らかでない関数)を離散化すればこの形の方程式となり,非線形問題φ_<(x)>≧0 4_<(x)>≧0,φ_<(x)>^x4_<(x)>=0 φ4:R^m→R^nに同値な相補問題H_<(x)>≧0 min(φ_<(x),4>(x))も H=f+g(f,g:R^m→R^n)の形にかける。本研究では,空間を有限次之空間に制限し,この形の方程式を解く広義Newton法の挙動を解析した。先ず夛段簡易Newton-like法の収束球がステップ数sに依存してどのようにかわるかを調べ,Rall(1974),Rheinboldt(1978)等の結果を特別な場合として含むいくつかの結果をえた。 ただし,収束域を最大にするsの決定は一般に非常に難しいことが数値例によりわかる。次に劣決定方程式系を解くBen-Isnael 反復x^<k+1>=x^k-A(x^k)^+(f(x^k)_<+g>(x^k)),k≧0,f,g:R^n→R^n,m≧nA:n×m行列、A^+:m×nMoore-Penrose逆行列に対する新しい収束定理(局所収束定理,半局所収束定理)を証明した(投稿中)。しかしながら,上記定理の条件はやゝ強く,いくつかの例ではこの条件が成り立たなくても収束する。したがって,我々の定理は高改良を要する。 この点につき今後も研究を進めて行きたい。

1987年Zabrejko-NguenがNumerical Functional Analysisand Optimization,vol.9,671ー684 において考察した方程式f+g=o(f:微分可能,g:微分不可能またはg=o)の重要性は近年いろいろな分野で認識されつゝある。たとえば、Dirichlet問題-Δu+q_<(u)>=r inΩ u=φ on∂Ω (g:滑らかでない関数)を離散化すればこの形の方程式となり,非線形問題φ_<(x)>≧0 4_<(x)>≧0,φ_<(x)>^x4_<(x)>=0 φ4:R^m→R^nに同値な相補問題H_<(x)>≧0 min(φ_<(x),4>(x))も H=f+g(f,g:R^m→R^n)の形にかける。本研究では,空間を有限次之空間に制限し,この形の方程式を解く広義Newton法の挙動を解析した。先ず夛段簡易Newton-like法の収束球がステップ数sに依存してどのようにかわるかを調べ,Rall(1974),Rheinboldt(1978)等の結果を特別な場合として含むいくつかの結果をえた。 ただし,収束域を最大にするsの決定は一般に非常に難しいことが数値例によりわかる。次に劣決定方程式系を解くBen-Isnael 反復x^<k+1>=x^k-A(x^k)^+(f(x^k)_<+g>(x^k)),k≧0,f,g:R^n→R^n,m≧nA:n×m行列、A^+:m×nMoore-Penrose逆行列に対する新しい収束定理(局所収束定理,半局所収束定理)を証明した(投稿中)。しかしながら,上記定理の条件はやゝ強く,いくつかの例ではこの条件が成り立たなくても収束する。したがって,我々の定理は高改良を要する。 この点につき今後も研究を進めて行きたい。